Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
Isso significa que a derivada de
em relação a
depende de
e
. Para resolver essa equação, vamos usar Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem, que envolvem encontrar uma função
que satisfaça a equação dada.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a equação diferencial numa forma padrão para facilitar a resolução. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é:
Comparando com a nossa equação:
Podemos rearranjar para:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um fator integrante (
) que nos ajudará a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
A ideia aqui é reescrever a equação de forma que o lado esquerdo seja a derivada de
.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada de
:
Isso simplifica a resolução, pois agora podemos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo se simplifica para
, e a integral do lado direito é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, temos:
Multiplicando ambos os lados por
para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real arbitrária.