Resolva as equações diferenciais abaixo: y' = (y + 1) / (x + 1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
Isso significa que a derivada de em relação a depende de e . Para resolver essa equação, vamos usar Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem, que envolvem encontrar uma função que satisfaça a equação dada.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação diferencial numa forma padrão para facilitar a resolução. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é:
Comparando com a nossa equação:
Podemos rearranjar para:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um fator integrante ( ) que nos ajudará a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
A ideia aqui é reescrever a equação de forma que o lado esquerdo seja a derivada de .

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada de :
Isso simplifica a resolução, pois agora podemos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo se simplifica para , e a integral do lado direito é:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, temos:
Multiplicando ambos os lados por para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real arbitrária.

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