A força F=(3 x^2 N) i+(4,0 N) j com times em metros, age sobre uma partícula, mudando apenas sua energia cinética. Qual é o trabalho realizado por essa força sobre a partícula quando ela se desloca das coordenadas ( 2,0 m, 3,0 m) para (3,0 m, 0,0 m)?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma força F = (3x^2 , N) i + (4,0 , N) j que está agindo sobre uma partícula. Queremos descobrir quanto trabalho essa força realiza quando a partícula se move do ponto (2,0 , m, 3,0 , m) até o ponto (3,0 , m, 0,0 , m). Para resolver isso, vamos usar o conceito de trabalho realizado por uma força ao longo de um deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o trabalho ( W) realizado por uma força ao longo de um caminho é dado pela integral do produto escalar da força pelo deslocamento:
W = integral F cdot ds
Aqui, F é a força e ds é um elemento infinitesimal do deslocamento.

Passo 3

Nossa força é F = (3x^2) i + 4,0 j e o deslocamento vai de (2,0 , m, 3,0 , m) a (3,0 , m, 0,0 , m). Vamos parametrizar o caminho para facilitar a integração. Podemos pensar que x varia de 2 m a 3 m, e y varia de 3 m a 0 m. Então, podemos expressar y em termos de x:
y = 3 - 3(x - 2)
Assim, dy = -3 dx.

Passo 4

Agora, substituímos as componentes da força e do deslocamento na integral:
W = integral2^3 (3x^2) dx + integral3^0 4,0 dy
Mas já que dy = -3 dx, vamos substituir:
W = integral2^3 (3x^2) dx + integral2^3 4,0 (-3) dx

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro:
integral2^3 3x^2 dx = 3 [ x^33 ]2^3 = [ x^3 ]2^3 = 27 - 8 = 19 , J
Segundo:
integral2^3 4,0 (-3) dx = -12 integral2^3 dx = -12 (3 - 2) = -12 , J

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais para encontrar o trabalho total:
W = 19 , J - 12 , J = 7 , J

Resposta

O trabalho realizado pela força sobre a partícula é de 7 , J.

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