A força da gravidade em um objeto de massa m a uma altura h acima da superfície da Terra é
F = m g R^2 / (R + h)^2
onde R é o raio da Terra e g é a aceleração da gravidade.
Observe que, se aproximarmos F pelo primeiro termo na série, obtemos a expressão F ≈ m g, que é geralmente usada quando h é muito menor que R. Use o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas para estimar a gama de valores de h para os quais a aproximação F ≈ m g tem precisão de 1%. (Use R = 6400 km )

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fórmula para calcular a força da gravidade ( F) em um objeto de massa m a uma altura h acima da Terra. A pergunta quer saber para quais valores de h a aproximação F ≈ m g é precisa dentro de . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas e considerar o raio da Terra .

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a expressão da força da gravidade:
Podemos simplificar essa expressão dividindo o numerador e o denominador por :
Agora, vamos chamar , então temos:

Passo 3

Para aproximar F, vamos expandir usando a série de Taylor para , onde :
A aproximação F ≈ m g corresponde a considerar apenas o primeiro termo da expansão, ou seja, F ≈ m g quando x é muito pequeno (isto é, quando h é muito menor que R).

Passo 4

Queremos que a aproximação tenha uma precisão de , ou seja, o erro relativo deve ser menor ou igual a . O erro na aproximação é dado pelo próximo termo da série:
Para que o erro relativo seja , temos:

Passo 5

Resolvendo para x:
Lembrando que , temos:

Passo 6

Agora, substituímos o valor de :

Resposta

A altura h deve ser menor ou igual a para que a aproximação F ≈ m g tenha precisão de .

Exercícios relacionados