A força da gravidade em um objeto de massa
a uma altura
acima da superfície da Terra é
onde
é o raio da Terra e
é a aceleração da gravidade.
Observe que, se aproximarmos
pelo primeiro termo na série, obtemos a expressão
, que é geralmente usada quando
é muito menor que
. Use o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas para estimar a gama de valores de
para os quais a aproximação
tem precisão de
. (Use
)
Observe que, se aproximarmos
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fórmula para calcular a força da gravidade (
) em um objeto de massa
a uma altura
acima da Terra. A pergunta quer saber para quais valores de
a aproximação
é precisa dentro de
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas e considerar o raio da Terra
.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a expressão da força da gravidade:
Podemos simplificar essa expressão dividindo o numerador e o denominador por
:
Agora, vamos chamar
, então temos:
Passo 3
Para aproximar
, vamos expandir
usando a série de Taylor para
, onde
:
A aproximação
corresponde a considerar apenas o primeiro termo da expansão, ou seja,
quando
é muito pequeno (isto é, quando
é muito menor que
).
Passo 4
Queremos que a aproximação tenha uma precisão de
, ou seja, o erro relativo deve ser menor ou igual a
. O erro na aproximação é dado pelo próximo termo da série:
Para que o erro relativo seja
, temos:
Passo 5
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 6
Agora, substituímos o valor de
:
Resposta
A altura
deve ser menor ou igual a
para que a aproximação
tenha precisão de
.
Exercícios relacionados
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Utilizando os cálculos do exercícios anterior, calcule:
Use séries para avaliar o limite a seguir.
Suponha que
para todo
.
Se for uma função ímpar, mostre que
Se