Use séries para avaliar o limite a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando séries! A questão pede para calcular:
Aqui, vamos precisar usar a série de Taylor para a função seno, que ajuda a aproximar funções próximas de um ponto, no caso, próximo de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor da função seno em torno de 0:
Essa expressão nos permite substituir
por essa expansão quando
está perto de 0.
Passo 3
Agora, substituímos a série de Taylor na expressão original:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro do numerador:
Passo 5
Agora, dividimos cada termo do numerador por
:
Passo 6
Quando
tende a 0, os termos que contêm
,
, etc., vão para 0. Então, o limite fica apenas com:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
A força da gravidade em um objeto de massa
a uma altura
acima da superfície da Terra é
onde
é o raio da Terra e
é a aceleração da gravidade.
Observe que, se aproximarmos pelo primeiro termo na série, obtemos a expressão
, que é geralmente usada quando
é muito menor que
. Use o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas para estimar a gama de valores de
para os quais a aproximação
tem precisão de
. (Use
)
Observe que, se aproximarmos
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Suponha que
para todo
.
Se for uma função ímpar, mostre que
Se