Use séries para avaliar o limite a seguir.
lim x 0 sen x-xx^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando séries! A questão pede para calcular:
lim x 0 sen x - xx^3
Aqui, vamos precisar usar a série de Taylor para a função seno, que ajuda a aproximar funções próximas de um ponto, no caso, próximo de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor da função seno em torno de 0:
sen x = x - x^36 + x^5120 - dots
Essa expressão nos permite substituir sen x por essa expansão quando x está perto de 0.

Passo 3

Agora, substituímos a série de Taylor na expressão original:
sen x - xx^3 = (x - x^36 + x^5120 - dots) - xx^3

Passo 4

Simplificando a expressão dentro do numerador:
x - x^36 + x^5120 - dots - xx^3 = - x^36 + x^5120 - dotsx^3

Passo 5

Agora, dividimos cada termo do numerador por x^3:
- x^36x^3 + x^5120x^3 - dots = -16 + x^2120 - dots

Passo 6

Quando x tende a 0, os termos que contêm x^2, x^4, etc., vão para 0. Então, o limite fica apenas com:
-16

Resposta

O limite é -dfrac16.

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