A força gravitacional entre duas massas pontuais é muito similar matematicamente à força eletrostática entre duas cargas pontuais. A intensidade dessas forças, no entanto, é extremamente diferente. Para ilustrar isso, considere a seguinte situação. Em algum lugar do espaço existem duas esferas idênticas de poeira, de diâmetro e densidade , separadas por uma distância d . Se os grãos são eletricamente neutros, e estāo inicialmente em repouso, eles irão colidir devido à atração gravitacional. Agora suponha que ambos estão eletricamente carregados, cada um tendo um número de elétrons extra. Encontre o menor valor de que irá evitar a colisão. (Considere ).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. Temos duas esferas de poeira, cada uma com 50 micrômetros de diâmetro e uma densidade de 2,5 g/cm³. Elas estão separadas por uma distância e, se não tiverem carga elétrica, vão se atrair pela gravidade e colidir. Mas aí a parada muda: se cada esfera tiver um certo número de elétrons extras, , que criam uma repulsão elétrica entre elas, qual é o menor valor de que evita que as esferas colidam? Vamos precisar usar as fórmulas da força gravitacional e da força eletrostática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa de cada esfera. Sabemos que a densidade ( ) é massa por volume:
O volume ( ) de uma esfera é dado por:
Onde é o raio da esfera. Como o diâmetro é 50 micrômetros ( m), o raio é metade disso:
Agora, calculamos o volume:
Com a densidade (convertendo de 2,5 g/cm³ para kg/m³), a massa é:

Passo 3

Agora vamos calcular a força gravitacional ( ) entre as duas esferas. A fórmula da força gravitacional é:
Como as esferas são idênticas, :
Onde .

Passo 4

Agora vamos calcular a força eletrostática ( ) entre as esferas quando cada uma tem uma carga de elétrons extras. A carga de um elétron é , então a carga total em cada esfera é .
A força eletrostática é dada por:
Como ambas as cargas são iguais:
Onde .

Passo 5

Para evitar que as esferas colidam, a força de repulsão elétrica precisa ser pelo menos igual à força de atração gravitacional:
Substituindo as expressões:
Como está nos dois lados, podemos cancelar:

Passo 6

Vamos resolver para :
Agora, substituindo os valores:
Vamos calcular isso passo a passo:
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Substituir na expressão:
  1. Calcular o numerador:
  1. Calcular o denominador:
  1. Dividir:
  1. Tirar a raiz quadrada:

Resposta

O menor valor de que evita a colisão das esferas é aproximadamente elétron extra por esfera.

Exercícios relacionados

Três particulas carregadas estāo dispostas num plano XY: a particula 1 na posição , a particula 2 na posição e a partícula 3 na posição , com liberdade para se mover no eixo , . pode variar de 0 a 5 m . Qual o valor de para que a força exercida sobre a partícula 3 (pelas demais cargas) seja (a) minima e (b) máxima? Quais sāo os valores © ninimo e (d) máximo do módulo da força?
Quatro partículas carregadas estão dispostas no plano XY sendo e as distâncias das cargas até a origem. A carga da particula 2 é , a carga das particulas 3 e 4 é . Qual deve ser a distância para que seja nula a força resultante sobre a particula 1?
Um caminhão de 4000 kg deve ser carregado para o interior de um navio, com o uso de um guindaste. O guindaste exerce uma força para cima, de sobre o caminhão. Esta força, que é intensa o suficiente para suplantar a força gravitacional e manter o caminhão em movimento para cima, é aplicada ao longo de uma distância de .
a) Encontre o trabalho realizado pela força aplicada pelo guindaste sobre o caminhão, nesse procedimento de levantar o caminhão.
Considere dois planos infinitos condutores e paralelos, carregados com densidades superficiais de carga uniformes e . Os planos estão separados por uma distância , e o meio entre eles é o vácuo. Determine a expressão do campo elétrico em cada uma das regiões: A. Região 1: à esquerda do plano ;