A força gravitacional entre duas massas pontuais é muito similar matematicamente à força eletrostática entre duas cargas pontuais. A intensidade dessas forças, no entanto, é extremamente diferente. Para ilustrar isso, considere a seguinte situação. Em algum lugar do espaço existem duas esferas idênticas de poeira,
de diâmetro e densidade
, separadas por uma distância d . Se os grãos são eletricamente neutros, e estāo inicialmente em repouso, eles irão colidir devido à atração gravitacional. Agora suponha que ambos estão eletricamente carregados, cada um tendo um número
de elétrons extra. Encontre o menor valor de
que irá evitar a colisão. (Considere
).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. Temos duas esferas de poeira, cada uma com 50 micrômetros de diâmetro e uma densidade de 2,5 g/cm³. Elas estão separadas por uma distância
e, se não tiverem carga elétrica, vão se atrair pela gravidade e colidir. Mas aí a parada muda: se cada esfera tiver um certo número de elétrons extras,
, que criam uma repulsão elétrica entre elas, qual é o menor valor de
que evita que as esferas colidam? Vamos precisar usar as fórmulas da força gravitacional e da força eletrostática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa de cada esfera. Sabemos que a densidade (
) é massa por volume:
O volume (
) de uma esfera é dado por:
Onde
é o raio da esfera. Como o diâmetro é 50 micrômetros (
m), o raio é metade disso:
Agora, calculamos o volume:
Com a densidade
(convertendo de 2,5 g/cm³ para kg/m³), a massa
é:
Passo 3
Agora vamos calcular a força gravitacional (
) entre as duas esferas. A fórmula da força gravitacional é:
Como as esferas são idênticas,
:
Onde
.
Passo 4
Agora vamos calcular a força eletrostática (
) entre as esferas quando cada uma tem uma carga de
elétrons extras. A carga de um elétron é
, então a carga total em cada esfera é
.
A força eletrostática é dada por:
Como ambas as cargas são iguais:
Onde
.
Passo 5
Para evitar que as esferas colidam, a força de repulsão elétrica precisa ser pelo menos igual à força de atração gravitacional:
Substituindo as expressões:
Como
está nos dois lados, podemos cancelar:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Agora, substituindo os valores:
Vamos calcular isso passo a passo:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Substituir na expressão:
- Calcular o numerador:
- Calcular o denominador:
- Dividir:
- Tirar a raiz quadrada:
Resposta
O menor valor de
que evita a colisão das esferas é aproximadamente
elétron extra por esfera.