A força gravitacional entre duas massas pontuais é muito similar matematicamente à força eletrostática entre duas cargas pontuais. A intensidade dessas forças, no entanto, é extremamente diferente. Para ilustrar isso, considere a seguinte situação. Em algum lugar do espaço existem duas esferas idênticas de poeira, 50 mu m de diâmetro e densidade 2,5 g / cm^3, separadas por uma distância d . Se os grãos são eletricamente neutros, e estāo inicialmente em repouso, eles irão colidir devido à atração gravitacional. Agora suponha que ambos estão eletricamente carregados, cada um tendo um número n de elétrons extra. Encontre o menor valor de n que irá evitar a colisão. (Considere G=6,67 times 10^-11 m^3 kg^-1 s^-2 ).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. Temos duas esferas de poeira, cada uma com 50 micrômetros de diâmetro e uma densidade de 2,5 g/cm³. Elas estão separadas por uma distância e, se não tiverem carga elétrica, vão se atrair pela gravidade e colidir. Mas aí a parada muda: se cada esfera tiver um certo número de elétrons extras, , que criam uma repulsão elétrica entre elas, qual é o menor valor de que evita que as esferas colidam? Vamos precisar usar as fórmulas da força gravitacional e da força eletrostática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa de cada esfera. Sabemos que a densidade ( rho = mV ) é massa por volume:
V = 43 pi r^3
O volume ( r = 50 times 10^-62 = 25 times 10^-6 , m ) de uma esfera é dado por:
V = 43 pi (25 times 10^-6)^3 approx 6,54 times 10^-14 , m^3
Onde m = rho V = 2500 times 6,54 times 10^-14 approx 1,64 times 10^-10 , kg é o raio da esfera. Como o diâmetro é 50 micrômetros ( m), o raio é metade disso:
Agora, calculamos o volume:
Com a densidade (convertendo de 2,5 g/cm³ para kg/m³), a massa é:

Passo 3

Agora vamos calcular a força gravitacional ( Fg = G m1 m2d^2 ) entre as duas esferas. A fórmula da força gravitacional é:
Fg = G m^2d^2
Como as esferas são idênticas, :
Onde .

Passo 4

Agora vamos calcular a força eletrostática ( Fe = k q1 q2d^2 ) entre as esferas quando cada uma tem uma carga de Fe = k n^2 e^2d^2 elétrons extras. A carga de um elétron é , então a carga total em cada esfera é .
A força eletrostática é dada por:
Como ambas as cargas são iguais:
Onde .

Passo 5

Para evitar que as esferas colidam, a força de repulsão elétrica precisa ser pelo menos igual à força de atração gravitacional:
Fe >= Fg
Substituindo as expressões:
k n^2 e^2d^2 >= G m^2d^2
Como k n^2 e^2 >= G m^2 está nos dois lados, podemos cancelar:

Passo 6

Vamos resolver para n^2 >= G m^2k e^2 :
n >= raizG m^2k e^2
n >= raiz6,67 times 10^-11 times (1,64 times 10^-10)^28,99 times 10^9 times (1,6 times 10^-19)^2
Agora, substituindo os valores:
(1,64 times 10^-10)^2 approx 2,69 times 10^-20 , kg^2
Vamos calcular isso passo a passo:
  1. Calcular (1,6 times 10^-19)^2 = 2,56 times 10^-38 , C^2 :
n >= raiz6,67 times 10^-11 times 2,69 times 10^-208,99 times 10^9 times 2,56 times 10^-38
  1. Calcular 6,67 times 10^-11 times 2,69 times 10^-20 approx 1,79 times 10^-30 :
8,99 times 10^9 times 2,56 times 10^-38 approx 2,30 times 10^-28
  1. Substituir na expressão:
1,79 times 10^-302,30 times 10^-28 approx 7,78 times 10^-3
  1. Calcular o numerador:
n >= raiz7,78 times 10^-3 approx 0,088
  1. Calcular o denominador:
  1. Dividir:
  1. Tirar a raiz quadrada:

Resposta

O menor valor de que evita a colisão das esferas é aproximadamente elétron extra por esfera.

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