Quatro partículas carregadas estão dispostas no plano XY sendo e as distâncias das cargas até a origem. A carga da particula 2 é , a carga das particulas 3 e 4 é . Qual deve ser a distância para que seja nula a força resultante sobre a particula 1?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem quatro partículas carregadas distribuídas no plano XY. A partícula 1 está em cm, a partícula 2 em cm, a partícula 3 em cm e a partícula 4 em cm. As cargas são C, e C. Queremos descobrir qual o valor de que faz com que a força resultante sobre a partícula 1 seja nula. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb e a Lei de Newton para forças.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Coulomb, que nos diz como calcular a força entre duas cargas elétricas. A fórmula é:
onde:
  • é a constante eletrostática ( ²²),
  • e são as magnitudes das cargas,
  • é a distância entre as cargas,
  • é o vetor unitário na direção de .
Vamos calcular as forças que atuam na partícula 1 devido às partículas 2, 3 e 4.

Passo 3

Força entre partícula 1 e partícula 2:
As partículas 1 e 2 estão alinhadas no eixo X. A distância entre elas é cm = m.
A força será:
Como e têm sinais opostos ( não foi fornecido, mas assumiremos que é positiva para que a força possa ser nula), a força será atrativa (na direção negativa de i se positivo).

Passo 4

Força entre partícula 1 e partícula 3:
A partícula 3 está em cm. A distância entre a partícula 1 e 3 é:
A direção da força será ao longo do vetor que liga a partícula 1 à 3.
A força é:
Como é negativa, a força será repulsiva, invertendo a direção.

Passo 5

Força entre partícula 1 e partícula 4:
A partícula 4 está em cm. A distância é a mesma que entre 1 e 3, ou seja, m.
A força é:
Novamente, é negativa, então a força será repulsiva, invertendo a direção.

Passo 6

Para que a força resultante sobre a partícula 1 seja nula, a soma das forças deve ser igual a zero.
Somando as componentes i e j:
Observamos que as componentes y das forças e se cancelam, pois são iguais e opostas.
Então, focamos na componente x:

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
Como , podemos juntar os termos:

Passo 8

Agora, substituímos os valores das cargas:
Resolvendo a segunda parcela:
Igualando à primeira parcela:

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Calculando os valores numéricos:

Passo 10

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então:

Resposta

A distância deve ser de 3,25 cm para que a força resultante sobre a partícula 1 seja nula.

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