Quatro partículas carregadas estão dispostas no plano XY sendo r1=lang<=-3 ; 0 ; 0rang<= cm, r2=lang<= x ; 0 ; 0rang<= cm, r3=lang<= 0 ; 2 ; 0rang<= cm e r4=lang<= 0 ;-2 ; 0rang<= cm as distâncias das cargas até a origem. A carga da particula 2 é q2=8,0 times 10^-19 C, a carga das particulas 3 e 4 é q3=q4=-1,6 times 10^-19 C. Qual deve ser a distância x para que seja nula a força resultante sobre a particula 1?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem quatro partículas carregadas distribuídas no plano XY. A partícula 1 está em cm, a partícula 2 em cm, a partícula 3 em cm e a partícula 4 em cm. As cargas são C, e C. Queremos descobrir qual o valor de que faz com que a força resultante sobre a partícula 1 seja nula. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb e a Lei de Newton para forças.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Coulomb, que nos diz como calcular a força entre duas cargas elétricas. A fórmula é:
F = ke q1 q2r^2 r
onde:
  • é a constante eletrostática ( ²²),
  • e são as magnitudes das cargas,
  • é a distância entre as cargas,
  • é o vetor unitário na direção de .
Vamos calcular as forças que atuam na partícula 1 devido às partículas 2, 3 e 4.

Passo 3

Força entre partícula 1 e partícula 2:
As partículas 1 e 2 estão alinhadas no eixo X. A distância entre elas é F12 = ke q1 q2(x + 3 times 10^-2)^2 i cm = m.
A força será:
Como e têm sinais opostos ( não foi fornecido, mas assumiremos que é positiva para que a força possa ser nula), a força será atrativa (na direção negativa de i se positivo).

Passo 4

Força entre partícula 1 e partícula 3:
A partícula 3 está em r13 = raiz(-3)^2 + 2^2 , cm = raiz9 + 4 = raiz13 , cm = raiz13 times 10^-2 , m cm. A distância entre a partícula 1 e 3 é:
F13 = ke q1 q313 times 10^-4 ( 3raiz13 i - 2raiz13 j )
A direção da força será ao longo do vetor que liga a partícula 1 à 3.
A força é:
Como é negativa, a força será repulsiva, invertendo a direção.

Passo 5

Força entre partícula 1 e partícula 4:
A partícula 4 está em F14 = ke q1 q413 times 10^-4 ( 3raiz13 i + 2raiz13 j ) cm. A distância é a mesma que entre 1 e 3, ou seja, m.
A força é:
Novamente, é negativa, então a força será repulsiva, invertendo a direção.

Passo 6

Para que a força resultante sobre a partícula 1 seja nula, a soma das forças Fx = F12 + F13,x + F14,x = 0 deve ser igual a zero.
Somando as componentes i e j:
Fy = F13,y + F14,y = 0
ke q1 q2(x + 3 times 10^-2)^2 + ke q1 q3 cdot 313 times 10^-4 raiz13 + ke q1 q4 cdot 313 times 10^-4 raiz13 = 0
Observamos que as componentes y das forças e se cancelam, pois são iguais e opostas.
Então, focamos na componente x:

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por q2(x + 3 times 10^-2)^2 + q3 cdot 313 times 10^-4 raiz13 + q4 cdot 313 times 10^-4 raiz13 = 0 :
q2(x + 3 times 10^-2)^2 + 2 times q3 cdot 313 times 10^-4 raiz13 = 0
Como , podemos juntar os termos:

Passo 8

Agora, substituímos os valores das cargas:
8,0 times 10^-19(x + 3 times 10^-2)^2 + 2 times (-1,6 times 10^-19) cdot 313 times 10^-4 raiz13 = 0
Resolvendo a segunda parcela:
2 times -4,8 times 10^-1913 times 10^-4 raiz13 = -9,6 times 10^-1913 times 10^-4 raiz13
Igualando à primeira parcela:
8,0 times 10^-19(x + 3 times 10^-2)^2 = 9,6 times 10^-1913 times 10^-4 raiz13

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por 8,0 times 10^-19 = 9,6 times 10^-1913 times 10^-4 raiz13 times (x + 3 times 10^-2)^2 :
(x + 3 times 10^-2)^2 = 8,0 times 10^-19 times 13 times 10^-4 raiz139,6 times 10^-19
Simplificando:
(x + 3 times 10^-2)^2 = 8,0 times 13 times raiz13 times 10^-239,6 times 10^-19 = 104 times raiz139,6 times 10^-4
Calculando os valores numéricos:
(x + 3 times 10^-2)^2 approx 104 times 3,60559,6 times 10^-4 approx 375,5529,6 times 10^-4 approx 39,115 times 10^-4

Passo 10

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
x + 3 times 10^-2 = raiz39,115 times 10^-4 approx 0,0625 , m = 6,25 , cm
Então:
x = 6,25 , cm - 3 , cm = 3,25 , cm

Resposta

A distância deve ser de 3,25 cm para que a força resultante sobre a partícula 1 seja nula.

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