Três particulas carregadas estāo dispostas num plano XY: a particula 1 na posição , a particula 2 na posição e a partícula 3 na posição , com liberdade para se mover no eixo , . pode variar de 0 a 5 m . Qual o valor de para que a força exercida sobre a partícula 3 (pelas demais cargas) seja (a) minima e (b) máxima? Quais sāo os valores © ninimo e (d) máximo do módulo da força?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui! Temos três partículas carregadas no plano XY:
  • Partícula 1: Está na posição (0 cm, 15 cm, 0 cm) e tem carga C.
  • Partícula 2: Está na posição (0 cm, -15 cm, 0 cm) e tem carga C.
  • Partícula 3: Está na posição (x cm, 0 cm, 0 cm) e tem carga C.
A partícula 3 pode se mover ao longo do eixo X, variando de 0 a 5 cm. Precisamos encontrar os valores de que fazem a força total sobre a partícula 3 ser mínima e máxima, além de determinar o módulo mínimo e máximo dessa força.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos diz como calcular a força entre duas cargas elétricas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a força elétrica funciona. A Lei de Coulomb nos diz que a força entre duas cargas e é dada por:
Onde:
  • é a constante eletrostática.
  • é a distância entre as duas cargas.
  • O sinal da força depende das cargas: cargas de mesmo sinal se repelem, cargas de sinais opostos se atraem.
Vamos calcular a distância entre a partícula 3 e as partículas 1 e 2.

Passo 3

As posições das partículas 1, 2 e 3 são:
  • P1: (0 cm, 15 cm, 0 cm)
  • P2: (0 cm, -15 cm, 0 cm)
  • P3: (x cm, 0 cm, 0 cm)
A distância entre P3 e P1 é:
A distância entre P3 e P2 é:
Note que .

Passo 4

Agora, vamos calcular as forças que as partículas 1 e 2 exercem sobre a partícula 3.
Como e , as magnitudes das forças serão iguais, mas a direção pode variar dependendo das posições.
Como é negativa e e são positivas, as forças serão de atração, ou seja, direcionadas para as partículas 1 e 2.
Vamos chamar a força de P1 sobre P3 e a força de P2 sobre P3.
Ambas as forças são iguais em magnitude e direcionadas para o centro, então a força total será a soma vetorial dessas forças.

Passo 5

Como as forças e estão em direções opostas ao eixo Y (uma para cima e outra para baixo), elas se cancelam na direção Y, e a força resultante estará apenas na direção X.
Entretanto, como ambas as forças são de atração, elas puxam a partícula 3 para o centro, ao longo do eixo X.
Para encontrar quando a força total é mínima e máxima, precisamos analisar como varia com . A força total será:
Para encontrar os extremos dessa função, vamos derivar em relação a e igualar a zero.

Passo 6

Vamos derivar em relação a :
Igualando a derivada a zero:
Isso ocorre quando .
Agora, analisamos os extremos nos limites do intervalo cm.
  • Para : A força total é máxima.
  • Para cm: A força total é mínima.

Resposta

(a) O valor de para que a força exercida sobre a partícula 3 seja mínima é 5 cm.
(b) O valor de para que a força exercida sobre a partícula 3 seja máxima é 0 cm.
© O valor mínimo do módulo da força é obtido em cm.
(d) O valor máximo do módulo da força é obtido em cm.

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