Três particulas carregadas estāo dispostas num plano XY: a particula 1 na posição
, a particula 2 na posição
e a partícula 3 na posição
, com liberdade para se mover no eixo
,
.
pode variar de 0 a 5 m . Qual o valor de
para que a força exercida sobre a partícula 3 (pelas demais cargas) seja (a) minima e (b) máxima? Quais sāo os valores © ninimo e (d) máximo do módulo da força?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui! Temos três partículas carregadas no plano XY:
- Partícula 1: Está na posição (0 cm, 15 cm, 0 cm) e tem carga
C. - Partícula 2: Está na posição (0 cm, -15 cm, 0 cm) e tem carga
C. - Partícula 3: Está na posição (x cm, 0 cm, 0 cm) e tem carga
C.
A partícula 3 pode se mover ao longo do eixo X, variando
de 0 a 5 cm. Precisamos encontrar os valores de
que fazem a força total sobre a partícula 3 ser mínima e máxima, além de determinar o módulo mínimo e máximo dessa força.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos diz como calcular a força entre duas cargas elétricas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a força elétrica funciona. A Lei de Coulomb nos diz que a força entre duas cargas
e
é dada por:
Onde:
-
é a constante eletrostática. -
é a distância entre as duas cargas. - O sinal da força depende das cargas: cargas de mesmo sinal se repelem, cargas de sinais opostos se atraem.
Vamos calcular a distância entre a partícula 3 e as partículas 1 e 2.
Passo 3
As posições das partículas 1, 2 e 3 são:
- P1: (0 cm, 15 cm, 0 cm)
- P2: (0 cm, -15 cm, 0 cm)
- P3: (x cm, 0 cm, 0 cm)
A distância
entre P3 e P1 é:
A distância
entre P3 e P2 é:
Note que
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as forças que as partículas 1 e 2 exercem sobre a partícula 3.
Como
e
, as magnitudes das forças serão iguais, mas a direção pode variar dependendo das posições.
Como
é negativa e
e
são positivas, as forças serão de atração, ou seja, direcionadas para as partículas 1 e 2.
Vamos chamar
a força de P1 sobre P3 e
a força de P2 sobre P3.
Ambas as forças são iguais em magnitude e direcionadas para o centro, então a força total
será a soma vetorial dessas forças.
Passo 5
Como as forças
e
estão em direções opostas ao eixo Y (uma para cima e outra para baixo), elas se cancelam na direção Y, e a força resultante estará apenas na direção X.
Entretanto, como ambas as forças são de atração, elas puxam a partícula 3 para o centro, ao longo do eixo X.
Para encontrar quando a força total é mínima e máxima, precisamos analisar como
varia com
. A força total será:
Para encontrar os extremos dessa função, vamos derivar em relação a
e igualar a zero.
Passo 6
Vamos derivar
em relação a
:
Igualando a derivada a zero:
Isso ocorre quando
.
Agora, analisamos os extremos nos limites do intervalo
cm.
- Para
: A força total é máxima. - Para
cm: A força total é mínima.
Resposta
(a) O valor de
para que a força exercida sobre a partícula 3 seja mínima é 5 cm.
(b) O valor de
para que a força exercida sobre a partícula 3 seja máxima é 0 cm.
© O valor mínimo do módulo da força é obtido em
cm.
(d) O valor máximo do módulo da força é obtido em
cm.
Exercícios relacionados
Quatro partículas carregadas estão dispostas no plano XY sendo
e
as distâncias das cargas até a origem. A carga da particula 2 é
, a carga das particulas 3 e 4 é
. Qual deve ser a distância
para que seja nula a força resultante sobre a particula 1?
A posição de uma partícula é dada por
, com
em segundos. Qual a sua aceleração máxima?
Resp.: f)
.
Resp.: f)
A força gravitacional entre duas massas pontuais é muito similar matematicamente à força eletrostática entre duas cargas pontuais. A intensidade dessas forças, no entanto, é extremamente diferente. Para ilustrar isso, considere a seguinte situação. Em algum lugar do espaço existem duas esferas idênticas de poeira,
de diâmetro e densidade
, separadas por uma distância d . Se os grãos são eletricamente neutros, e estāo inicialmente em repouso, eles irão colidir devido à atração gravitacional. Agora suponha que ambos estão eletricamente carregados, cada um tendo um número
de elétrons extra. Encontre o menor valor de
que irá evitar a colisão. (Considere
).
Um caminhão de 4000 kg deve ser carregado para o interior de um navio, com o uso de um guindaste. O guindaste exerce uma força para cima, de
sobre o caminhão. Esta força, que é intensa o suficiente para suplantar a força gravitacional e manter o caminhão em movimento para cima, é aplicada ao longo de uma distância de
.
a) Encontre o trabalho realizado pela força aplicada pelo guindaste sobre o caminhão, nesse procedimento de levantar o caminhão.
a) Encontre o trabalho realizado pela força aplicada pelo guindaste sobre o caminhão, nesse procedimento de levantar o caminhão.