A força resultante que age sobre um corpo de massa 2 kg, que está se movendo no sentido positivo do eixo-x, é dada, em newtons, pela expressão F= -6x, sendo X dado em metros. Se a velocidade do corpo, para X= 3,0 m, é V= 8,0 m/s, então, para X=4,0 m, sua velocidade será, aproximadamente,
A) -6,5 m/s
B) 8,0 m/s
C) 9,0 m/s
D) 6,5 m/s
A) -6,5 m/s
B) 8,0 m/s
C) 9,0 m/s
D) 6,5 m/s
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo de massa 2 kg que está se movendo ao longo do eixo-x. A força resultante que age sobre ele é dada pela expressão $ F = -6x $, onde $ x $ é a posição em metros. Sabemos que, quando $ x = 3,0 $ m, a velocidade $ V = 8,0 $ m/s. A pergunta é: qual será a velocidade do corpo quando $ x = 4,0 $ m?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a Segunda Lei de Newton e a energia cinética. Vamos precisar relacionar a força com a variação da velocidade conforme a posição muda.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Segunda Lei de Newton, que diz que $ F = m \cdot a $, onde $ F $ é a força, $ m $ é a massa e $ a $ é a aceleração. Aqui, a força é $ F = -6x $ e a massa $ m = 2 $ kg. Então:
Então, a aceleração depende da posição $ x $.
Passo 3
Sabemos que a aceleração $ a $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Mas como a aceleração depende de $ x $, vamos usar a relação:
Substituindo $ a $ na equação anterior:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para $ v $:
Agora, precisamos encontrar a constante $ C $ usando a condição inicial: quando $ x = 3,0 $ m, $ V = 8,0 $ m/s.
Passo 6
Substituindo $ x = 3,0 $ m e $ v = 8,0 $ m/s na equação:
Passo 7
Agora, substituímos $ C = 45,5 $ na equação de $ v $:
Passo 8
Finalmente, queremos a velocidade quando $ x = 4,0 $ m:
Resposta
A velocidade do corpo para $ X = 4,0 $ m será aproximadamente 6,5 m/s, o que corresponde à alternativa D).