A força resultante que age sobre um corpo de massa 2 kg, que está se movendo no sentido positivo do eixo-x, é dada, em newtons, pela expressão F= -6x, sendo X dado em metros. Se a velocidade do corpo, para X= 3,0 m, é V= 8,0 m/s, então, para X=4,0 m, sua velocidade será, aproximadamente,
A) -6,5 m/s
B) 8,0 m/s
C) 9,0 m/s
D) 6,5 m/s

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo de massa 2 kg que está se movendo ao longo do eixo-x. A força resultante que age sobre ele é dada pela expressão $ F = -6x $, onde $ x $ é a posição em metros. Sabemos que, quando $ x = 3,0 $ m, a velocidade $ V = 8,0 $ m/s. A pergunta é: qual será a velocidade do corpo quando $ x = 4,0 $ m?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a Segunda Lei de Newton e a energia cinética. Vamos precisar relacionar a força com a variação da velocidade conforme a posição muda.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Segunda Lei de Newton, que diz que $ F = m \cdot a $, onde $ F $ é a força, $ m $ é a massa e $ a $ é a aceleração. Aqui, a força é $ F = -6x $ e a massa $ m = 2 $ kg. Então:
F = m cdot a
Então, a aceleração depende da posição $ x $.

Passo 3

Sabemos que a aceleração $ a $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a
Mas como a aceleração depende de $ x $, vamos usar a relação:
a = dvdt
Substituindo $ a $ na equação anterior:
x

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
v cdot dv = -3x cdot dx
Integrando ambos os lados:
integral v , dv = integral -3x , dx
Isso resulta em:
v^22 = -3x^22 + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para $ v $:
v
v^2 = -3x^2 + 2C
Agora, precisamos encontrar a constante $ C $ usando a condição inicial: quando $ x = 3,0 $ m, $ V = 8,0 $ m/s.

Passo 6

Substituindo $ x = 3,0 $ m e $ v = 8,0 $ m/s na equação:
x = 3,0
v = 8,0
8^2 = -3 cdot 3^2 + 2C
64 = -27 + 2C

Passo 7

Agora, substituímos $ C = 45,5 $ na equação de $ v $:
C = 45,5

Passo 8

Finalmente, queremos a velocidade quando $ x = 4,0 $ m:
x = 4,0

Resposta

A velocidade do corpo para $ X = 4,0 $ m será aproximadamente 6,5 m/s, o que corresponde à alternativa D).

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