(Forças e o Movimento Circular Uniforme) No jogo de espirobol, uma bola de 0,75 kg é pendurada por uma corda de 1,25 m ao topo de um poste vertical, de modo que a bola possa girar em volta do poste, conforme mostrado na Figura. Determine a tração na corda quando a bola se move a 0,5 rev / s e o ângulo da corda é de 35^circ em relação à vertical.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma bola de 0,75 kg pendurada por uma corda de 1,25 m que gira ao redor de um poste. Essa bola está fazendo meio giro por segundo ( ) e a corda forma um ângulo de 35° com a vertical. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a tração na corda nesse movimento. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de forças em movimento circular uniforme, onde precisamos analisar as forças envolvidas e como elas se equilibram para manter a bola em movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças atuando na bola. Temos duas forças principais:
  1. Força da Gravidade ( ): É a força que puxa a bola para baixo, calculada por , onde é a massa da bola e é a aceleração da gravidade ( ²).
  2. Tração da Corda ( ): Essa é a força que a corda exerce na bola. Ela tem duas componentes porque a corda está em um ângulo: uma vertical ( ) que equilibra a força da gravidade, e uma horizontal ( ) que fornece a força centrípeta necessária para manter a bola em movimento circular.

Passo 3

Vamos decompor a tração da corda em suas componentes vertical e horizontal. Usando trigonometria:
  • Componente Vertical ( ):
  • Componente Horizontal ( ):
Aqui, é o ângulo que a corda faz com a vertical.

Passo 4

Agora, vamos equilibrar as forças:
  • Equilíbrio Vertical: A componente vertical da tração deve equilibrar a força da gravidade:
    T cdot cos(35°) = m cdot g
  • Força Centripeta: A componente horizontal da tração fornece a força centrípeta necessária para manter a bola em movimento circular:
    T cdot sin(35°) = m cdot v²r ²
    Onde é a velocidade linear da bola e é o raio do círculo, que podemos relacionar com o comprimento da corda e o ângulo.

Passo 5

Vamos encontrar o raio r = L cdot sin(theta) do movimento circular. Quando a corda faz um ângulo com a vertical, o raio é dado por:
Onde .

Passo 6

Precisamos calcular a velocidade v = 2 pi r f da bola. Sabemos que a bola faz 0,5 rotações por segundo. Primeiro, encontramos a frequência . A velocidade linear é:

Passo 7

Agora, vamos substituir v = 2 pi (1,25 cdot sin(35°)) cdot 0,5 na equação de :

Passo 8

Calculando v = 2 pi (1,25 cdot 0,5736) cdot 0,5 approx 2 pi (0,717) cdot 0,5 approx 2 pi cdot 0,3585 approx 2,254 , m/s :

Passo 9

Agora, vamos calcular a força centrípeta usando T cdot sin(35°) = 0,75 cdot (2,254)^21,25 cdot sin(35°) ²:
T = 0,75 cdot (5,08)1,25 cdot (0,5736) approx 3,810,717 approx 5,31 , N
Simplificando:

Passo 10

Agora, usamos a equação do equilíbrio vertical T = m cdot gcos(35°) = 0,75 cdot 9,80,8192 approx 7,350,8192 approx 8,98 , N para resolver para :

Resposta

A tração na corda quando a bola está se movendo a e a corda forma um ângulo de com a vertical é aproximadamente 9,0 N.

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