(Forças e o Movimento Circular Uniforme) No jogo de espirobol, uma bola de
é pendurada por uma corda de
ao topo de um poste vertical, de modo que a bola possa girar em volta do poste, conforme mostrado na Figura. Determine a tração na corda quando a bola se move a
e o ângulo da corda é de
em relação à vertical.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma bola de 0,75 kg pendurada por uma corda de 1,25 m que gira ao redor de um poste. Essa bola está fazendo meio giro por segundo (
) e a corda forma um ângulo de 35° com a vertical. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a tração na corda nesse movimento. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de forças em movimento circular uniforme, onde precisamos analisar as forças envolvidas e como elas se equilibram para manter a bola em movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças atuando na bola. Temos duas forças principais:
-
Força da Gravidade (
): É a força que puxa a bola para baixo, calculada por , onde é a massa da bola e é a aceleração da gravidade ( ). -
Tração da Corda (
): Essa é a força que a corda exerce na bola. Ela tem duas componentes porque a corda está em um ângulo: uma vertical ( ) que equilibra a força da gravidade, e uma horizontal ( ) que fornece a força centrípeta necessária para manter a bola em movimento circular.
Passo 3
Vamos decompor a tração da corda em suas componentes vertical e horizontal. Usando trigonometria:
- Componente Vertical (
): - Componente Horizontal (
):
Aqui,
é o ângulo que a corda faz com a vertical.
Passo 4
Agora, vamos equilibrar as forças:
-
Equilíbrio Vertical: A componente vertical da tração deve equilibrar a força da gravidade:
-
Força Centripeta: A componente horizontal da tração fornece a força centrípeta necessária para manter a bola em movimento circular:Onde
é a velocidade linear da bola e é o raio do círculo, que podemos relacionar com o comprimento da corda e o ângulo.
Passo 5
Vamos encontrar o raio
do movimento circular. Quando a corda faz um ângulo
com a vertical, o raio é dado por:
Onde
.
Passo 6
Precisamos calcular a velocidade
da bola. Sabemos que a bola faz 0,5 rotações por segundo. Primeiro, encontramos a frequência
. A velocidade linear é:
Passo 7
Agora, vamos substituir
na equação de
:
Passo 8
Calculando
:
Passo 9
Agora, vamos calcular a força centrípeta usando
:
Simplificando:
Passo 10
Agora, usamos a equação do equilíbrio vertical
para resolver para
:
Resposta
A tração na corda quando a bola está se movendo a
e a corda forma um ângulo de
com a vertical é aproximadamente 9,0 N.