Uma partícula se desloca no sentido horário, em uma trajetória circular de raio r=1,00 m, com o centro do círculo em (x, y)=(1,00 m, 0,00). No instante t=0,00 s a partícula parte do repouso na origem do sistema de coordenadas. A velocidade tangencial da partícula aumenta a uma taxa constante de pi / 2 m / s^2. (a) Quanto tempo leva a partícula para percorrer a metade do círculo? Neste instante: (b) qual sua velocidade escalar ? © Qual a direção de sua velocidade? (d) qual sua aceleração radial e sua aceleração tangencial? (e) quais são o módulo e a direção da aceleração total da partícula?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move no sentido horário em um círculo de raio 1 metro, com o centro em (1,00 m, 0,00). No tempo inicial, t = 0, a partícula está parada na origem. A velocidade tangencial dela aumenta de forma constante a uma taxa de π/2 m/s². Vamos resolver as questões passo a passo usando conhecimentos de cinemática circular, velocidade e aceleração.

Passo 2

(a) Quanto tempo leva a partícula para percorrer a metade do círculo?
Primeiro, precisamos calcular o tempo que a partícula leva para percorrer metade da circunferência. A metade da circunferência de um círculo é igual a π vezes o raio.
A velocidade tangencial está aumentando de forma constante, então temos uma aceleração tangencial constante (α = π/2 m/s²). A equação para a distância percorrida em movimento uniformemente acelerado é:
s = v0 t + 12 alpha t^2
Como a partícula parte do repouso, v₀ = 0. A metade da circunferência (s) é π * r = π * 1 m = π m.
Substituindo os valores:
pi = 0 + 12 cdot pi2 cdot t^2
pi = pi4 t^2
t^2 = pipi4
t^2 = 4
t = 2 s

Passo 3

(b) Qual sua velocidade escalar?
A velocidade escalar pode ser encontrada usando a equação da velocidade em movimento uniformemente acelerado:
v = v0 + alpha t
Novamente, v₀ = 0, então:
v = 0 + pi2 cdot 2
v = pi m/s

Passo 4

© Qual a direção de sua velocidade?
A direção da velocidade em movimento circular é sempre tangente à trajetória no ponto onde a partícula está. Como a partícula está se movendo no sentido horário, no instante em que completou metade do círculo, a velocidade está apontando na direção oposta ao início, ou seja, tangente ao ponto oposto.

Passo 5

(d) Qual sua aceleração radial e sua aceleração tangencial?
A aceleração tangencial (aₜ) já sabemos que é constante:
aₜ = pi2 m/s² ²
A aceleração radial (aᵣ) é dada por:
aᵣ = v^2r
Usando a velocidade encontrada no passo 3:
aᵣ = pi^21
aᵣ = pi^2 m/s² ²

Passo 6

(e) Quais são o módulo e a direção da aceleração total da partícula?
A aceleração total (a) é a combinaç��o vetorial da aceleração tangencial (aₜ) e da aceleração radial (aᵣ). Como elas são perpendiculares, usamos o teorema de Pitágoras para encontrar o módulo:
a = raizaₜ^2 + aᵣ^2
a = raiz(pi2)^2 + (pi^2)
a = raizpi^24 + pi^2
a = raiz5pi^24
a = pi raiz52 m/s² ²
Para a direção, a aceleração total forma um ângulo θ com a aceleração radial, dado por:
tan theta = aₜaᵣ
tan theta = pi2pi^2
tan theta = 12pi
theta = arctan(12pi)

Resposta

(a) O tempo levado para percorrer a metade do círculo é de 2 segundos.
(b) A velocidade escalar da partícula nesse instante é de π m/s.
© A direção da velocidade é tangente à trajetória no ponto oposto ao de partida, no sentido horário.
(d) A aceleração radial é π² m/s² e a aceleração tangencial é π/2 m/s².
(e) O módulo da aceleração total é (π√5)/2 m/s² e a direção forma um ângulo de arctan(1/(2π)) com a aceleração radial.

Exercícios relacionados