A forma de uma gota de líquido é dada pela seguinte expressão matemática, deduzida experimentalmente:
onde:
peso específico da gota de líquido
);
peso específico do vapor em torno da gota de líquido;
diâmetro da gota;
tensão superficial (força/unidade de comprimento) e
é uma função determinada na experimentalmente. Para que a equação acima seja dimensionalmente correta, quais devem ser as dimensões de
? Resp.: adimensional
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma equação que descreve a forma de uma gota de líquido e precisa descobrir quais são as dimensões da variável
pra que a equação faça sentido em termos de unidades. Isso tá ligado à área da Física chamada de análise dimensional, que ajuda a verificar se as equações estão corretas verificando as unidades de cada termo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada termo na equação:
-
: Tensão superficial, que tem a dimensão de força por unidade de comprimento. Em termos de massa (M), comprimento (L) e tempo (T), fica: -
e : São os pesos específicos, que representam peso por unidade de volume. Como peso é massa vezes aceleração da gravidade ( ), temos: -
: Diâmetro da gota, que é uma medida de comprimento:
Passo 3
Agora, vamos substituir as dimensões na equação original:
Substituindo pelos termos dimensionais:
Simplificando a parte de cima da fração:
Passo 4
Para que a equação seja dimensionalmente correta, as dimensões de ambos os lados devem ser iguais. Então:
Para que isso aconteça,
precisa não ter nenhuma dimensão, ou seja, ser adimensional. Se
tivesse alguma dimensão, as unidades não se cancelariam corretamente.