A forma de uma gota de líquido é dada pela seguinte expressão matemática, deduzida experimentalmente:
onde: peso específico da gota de líquido ); peso específico do vapor em torno da gota de líquido; diâmetro da gota; tensão superficial (força/unidade de comprimento) e é uma função determinada na experimentalmente. Para que a equação acima seja dimensionalmente correta, quais devem ser as dimensões de ? Resp.: adimensional

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma equação que descreve a forma de uma gota de líquido e precisa descobrir quais são as dimensões da variável pra que a equação faça sentido em termos de unidades. Isso tá ligado à área da Física chamada de análise dimensional, que ajuda a verificar se as equações estão corretas verificando as unidades de cada termo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada termo na equação:
  • : Tensão superficial, que tem a dimensão de força por unidade de comprimento. Em termos de massa (M), comprimento (L) e tempo (T), fica:
  • e : São os pesos específicos, que representam peso por unidade de volume. Como peso é massa vezes aceleração da gravidade ( ), temos:
  • : Diâmetro da gota, que é uma medida de comprimento:

Passo 3

Agora, vamos substituir as dimensões na equação original:
Substituindo pelos termos dimensionais:
Simplificando a parte de cima da fração:

Passo 4

Para que a equação seja dimensionalmente correta, as dimensões de ambos os lados devem ser iguais. Então:
Para que isso aconteça, precisa não ter nenhuma dimensão, ou seja, ser adimensional. Se tivesse alguma dimensão, as unidades não se cancelariam corretamente.

Resposta

é adimensional.

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