A forma de uma gota de líquido é dada pela seguinte expressão matemática, deduzida experimentalmente:
T=(gamma-gammao)(de)^2H
onde: gamma= peso específico da gota de líquido (gamma=rho g ); gamma0= peso específico do vapor em torno da gota de líquido; de= diâmetro da gota; T= tensão superficial (força/unidade de comprimento) e H é uma função determinada na experimentalmente. Para que a equação acima seja dimensionalmente correta, quais devem ser as dimensões de H ? Resp.: adimensional

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma equação que descreve a forma de uma gota de líquido e precisa descobrir quais são as dimensões da variável pra que a equação faça sentido em termos de unidades. Isso tá ligado à área da Física chamada de análise dimensional, que ajuda a verificar se as equações estão corretas verificando as unidades de cada termo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada termo na equação:
T = (gamma - gammao)(de)^2H
  • [T] = M cdot L cdot T^-2L = M cdot T^-2 : Tensão superficial, que tem a dimensão de força por unidade de comprimento. Em termos de massa (M), comprimento (L) e tempo (T), fica:
    [gamma] = [gammao] = M cdot L cdot T^-2L^3 = M cdot L^-2 cdot T^-2
  • [de] = L e : São os pesos específicos, que representam peso por unidade de volume. Como peso é massa vezes aceleração da gravidade ( ), temos:
  • : Diâmetro da gota, que é uma medida de comprimento:

Passo 3

Agora, vamos substituir as dimensões na equação original:
[T] = (gamma - gammao)(de)^2H
Substituindo pelos termos dimensionais:
M cdot T^-2 = (M cdot L^-2 cdot T^-2)(L)^2H
Simplificando a parte de cima da fração:
M cdot T^-2 = M cdot L^-2 cdot T^-2 cdot L^2H = M cdot T^-2H

Passo 4

Para que a equação seja dimensionalmente correta, as dimensões de ambos os lados devem ser iguais. Então:
M cdot T^-2 = M cdot T^-2H
Para que isso aconteça, precisa não ter nenhuma dimensão, ou seja, ser adimensional. Se tivesse alguma dimensão, as unidades não se cancelariam corretamente.

Resposta

é adimensional.

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