Utilize a integral dupla para determinar a área da região:
dentro de ambos os cardioides
e
.
dentro de ambos os cardioides
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para calcular a área da região que está dentro dos dois cardioides e
. Para resolver isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares. Vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções polares e como calcular áreas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar os dois cardioides. O cardioide tem uma “dentição” voltada para cima, enquanto
tem a dentição voltada para a direita. Para encontrar a área que está dentro de ambos, precisamos descobrir onde eles se cruzam.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dos dois cardioides igualando as duas equações:
Simplificando:
Isso acontece quando
ou
, que em radianos são
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde os cardioides se cruzam, vamos determinar os limites de integração. A área comum estará entre
e
. Nessa faixa de ângulos, a região que está dentro de ambos os cardioides é limitada pelo menor raio entre e
.
Passo 5
Vamos configurar a integral para calcular a área. Em coordenadas polares, a área
é dada por:
Aqui,
e
. O raio
será o menor valor entre e
nessa faixa.
Passo 6
Dentro do intervalo
, percebemos que é sempre menor ou igual a
. Portanto, podemos simplificar a integral usando apenas :
Passo 7
Vamos expandir o integrando:
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos calcular os limites de integração. Primeiro para
:
Depois para
:
Substituindo:
Passo 10
Simplificando os termos:
Passo 11
Finalizando o cálculo:
Resposta
A área da região que está dentro de ambos os cardioides é
unidades de área.