Utilize a integral dupla para determinar a área da região:
dentro de ambos os cardioides e .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular a área da região que está dentro dos dois cardioides e . Para resolver isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares. Vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções polares e como calcular áreas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os dois cardioides. O cardioide tem uma “dentição” voltada para cima, enquanto tem a dentição voltada para a direita. Para encontrar a área que está dentro de ambos, precisamos descobrir onde eles se cruzam.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dos dois cardioides igualando as duas equações:
Simplificando:
Isso acontece quando ou , que em radianos são e .

Passo 4

Agora que sabemos onde os cardioides se cruzam, vamos determinar os limites de integração. A área comum estará entre e . Nessa faixa de ângulos, a região que está dentro de ambos os cardioides é limitada pelo menor raio entre e .

Passo 5

Vamos configurar a integral para calcular a área. Em coordenadas polares, a área é dada por:
Aqui, e . O raio será o menor valor entre e nessa faixa.

Passo 6

Dentro do intervalo , percebemos que é sempre menor ou igual a . Portanto, podemos simplificar a integral usando apenas :

Passo 7

Vamos expandir o integrando:
Substituindo na integral:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:

Passo 9

Vamos calcular os limites de integração. Primeiro para :
Depois para :
Substituindo:

Passo 10

Simplificando os termos:

Passo 11

Finalizando o cálculo:

Resposta

A área da região que está dentro de ambos os cardioides é unidades de área.

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