Resolva a equação diferencial da forma y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x), usando o método da variação de parâmetros.
b) y'' + y' + y = sen(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. Primeiro, vamos entender o que a gente precisa: precisamos encontrar uma solução geral para essa equação não homogênea. Para isso, vamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois usar a variação de parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente, que é . Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente assume que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Substituindo na equação:
Como nunca é zero, a equação característica é:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:

Passo 5

Com as raízes complexas , onde e , a solução geral da equação homogênea é:
Substituindo os valores de e :
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora que temos a solução homogênea, vamos encontrar uma solução particular da equação completa usando o método da variação de parâmetros. Esse método envolve usar as soluções da equação homogênea para construir a solução particular.
As soluções homogêneas são e .

Passo 7

A fórmula da variação de parâmetros nos diz que a solução particular é dada por:
onde e são funções que vamos determinar. Para isso, precisamos calcular o Wronskiano das soluções homogêneas e resolver um sistema de equações.

Passo 8

Primeiro, calculamos o Wronskiano :
Calculando as derivadas:
Montando o Wronskiano:

Passo 9

Agora, calculamos e :
Integrando e :
Essas integrais podem ser resolvidas usando métodos de integração por partes ou identificando fórmulas trigonométricas adequadas.

Passo 10

Após resolver as integrais, obtemos as expressões para e . Substituindo esses valores na expressão de , encontramos a solução particular.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
Onde e são constantes arbitrárias e é a solução particular obtida pelo método da variação de parâmetros.

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