Uma forma de medir o momento de inércia de uma distribução de massa (sistema de partículas, corpo rígido) consiste em utilizar o movimento de queda de um bloco de massa
preso a um fio inextensível e sem massa. Este fio passa por uma pequena polia (ou conjunto de polias) de massa
e raio
(que gira sem atrito) e está enrolado em um dispositivo de raio
ao qual está acoplado o objeto em estudo. Para determinar o momento de inércia do objeto
, mede-se o tempo necessário
para que o bloco desça uma distância
(conforme a Figura). Calcule o momento de inércia em termos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o momento de inércia
de um objeto usando um sistema com um bloco de massa
pendurado em um fio, que passa por uma polia de massa
e raio
, e está conectado a um dispositivo de raio
. Vamos precisar entender conceitos de dinâmica rotacional e como torque e momentos de inércia funcionam juntos. Para resolver, vamos precisar relacionar as forças envolvidas com o movimento de rotação e a queda do bloco.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças agindo no bloco de massa
. Ele está sujeito à força da gravidade
para baixo e à tensão
no fio para cima. Como o bloco está descendo, a aceleração dele
está relacionada ao tempo
que leva para descer a altura
. Usaremos a equação do movimento para relacionar
,
e
:
Dessa forma, podemos isolar a aceleração:
Passo 3
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para o bloco:
A tensão
no fio é crucial porque ela está causando o torque na polia e, consequentemente, a rotação do dispositivo de raio
. Vamos reescrever a equação para
:
Substituindo
que encontramos:
Passo 4
A tensão
também está relacionada ao torque
na polia. O torque é dado por:
E o torque também está relacionado à aceleração angular
pela equação:
Onde
é o momento de inércia da polia. Sabemos que
para uma polia sólida é:
Passo 5
A aceleração angular
está relacionada à aceleração linear
pela relação:
Então, podemos expressar
como:
Passo 6
Substituindo
na equação do torque:
Rearranjando para
:
Substituindo
:
Passo 7
Agora temos duas expressões para
:
Igualando as duas:
Vamos resolver para
:
Passo 8
Já sabemos que:
Igualando as duas expressões para
:
Queremos isolar
, que no nosso contexto é o momento de inércia do dispositivo acoplado, então consideramos o momento total do sistema. Rearranjando para
:
Simplificando:
Mas percebemos que
pode ser cancelado com
no numerador.
Resposta
Após os cálculos, o momento de inércia
do objeto é dado por:
Ou simplificando: