Uma forma de medir o momento de inércia de uma distribução de massa (sistema de partículas, corpo rígido) consiste em utilizar o movimento de queda de um bloco de massa
preso a um fio inextensível e sem massa. Este fio passa por uma pequena polia (ou conjunto de polias) de massa
e raio
(que gira sem atrito) e está enrolado em um dispositivo de raio
ao qual está acoplado o objeto em estudo. Para determinar o momento de inércia do objeto
, mede-se o tempo necessário
para que o bloco desça uma distância
(conforme a Figura). Calcule o momento de inércia em termos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o momento de inércia
de um objeto usando um sistema com um bloco de massa
pendurado em um fio, que passa por uma polia de massa
e raio
, e está conectado a um dispositivo de raio
. Vamos precisar entender conceitos de dinâmica rotacional e como torque e momentos de inércia funcionam juntos. Para resolver, vamos precisar relacionar as forças envolvidas com o movimento de rotação e a queda do bloco.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças agindo no bloco de massa
. Ele está sujeito à força da gravidade
para baixo e à tensão
no fio para cima. Como o bloco está descendo, a aceleração dele
está relacionada ao tempo
que leva para descer a altura
. Usaremos a equação do movimento para relacionar
,
e
:
Dessa forma, podemos isolar a aceleração:
Passo 3
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para o bloco:
A tensão
no fio é crucial porque ela está causando o torque na polia e, consequentemente, a rotação do dispositivo de raio
. Vamos reescrever a equação para
:
Substituindo
que encontramos:
Passo 4
A tensão
também está relacionada ao torque
na polia. O torque é dado por:
E o torque também está relacionado à aceleração angular
pela equação:
Onde
é o momento de inércia da polia. Sabemos que
para uma polia sólida é:
Passo 5
A aceleração angular
está relacionada à aceleração linear
pela relação:
Então, podemos expressar
como:
Passo 6
Substituindo
na equação do torque:
Rearranjando para
:
Substituindo
:
Passo 7
Agora temos duas expressões para
:
Igualando as duas:
Vamos resolver para
:
Passo 8
Já sabemos que:
Igualando as duas expressões para
:
Queremos isolar
, que no nosso contexto é o momento de inércia do dispositivo acoplado, então consideramos o momento total do sistema. Rearranjando para
:
Simplificando:
Mas percebemos que
pode ser cancelado com
no numerador.
Resposta
Após os cálculos, o momento de inércia
do objeto é dado por:
Ou simplificando:
Exercícios relacionados
- 32 Na Fig. 5-41, um caixote de massa
é empurrado por uma forga horizontal que o laz subir uma rampa som atrito com velocidade constante. Ouais sato os modulos de (a) de e (b) da força que a rampa exerce sobre o caixole?
Um agricultor está usando um trator para puxar uma carretinha cheia de fertilizantes. A massa do trator é de 3000 kg e a massa da carretinha é de 1000 kg . O conjunto trator carretinha está acelerando em uma estrada plana com uma aceleração constante de
. A força de atrito entre as rodas da carretinha e a estrada é de 800 N .
C) Se o sistema passar a se mover com velocidade constante o valor da força mudará? Se sim, qual o novo valor dessa força?
C) Se o sistema passar a se mover com velocidade constante o valor da força mudará? Se sim, qual o novo valor dessa força?
Uma força constante de módulo
é aplicada individualmente em três diferentes corpos
e
. Quando esta força é exercida sobre o corpo
o faz acelerar a
, quando essa força é exercida sobre o corpo B o faz acelerar a
e quando essa força é exercida sobre o corpo C o faz acelerar a
. Após saber essas informações assinale a alternativa incorreta.
Escolha uma opção:
a. O corpo A possui o dobro da massa do corpo B.
b. O corpo B é o que possui menor massa.
c. A razão entre as massas dos corpos e
é igual a 0,5.
d. É impossível calcular o valor do módulo da força somente com essas informações.
e. O corpo C é o que possui maior massa.
Escolha uma opção:
a. O corpo A possui o dobro da massa do corpo B.
b. O corpo B é o que possui menor massa.
c. A razão entre as massas dos corpos
d. É impossível calcular o valor do módulo da força
e. O corpo C é o que possui maior massa.
Seja um bloco apoiado sobre uma superfície inclinada de um ângulo
acima da horizontal.
Assinale a(s) opção(ões) correta(s):
Escolha uma ou mais:
a. Se o bloco desce com rapidez (módulo da velocidade) constante, .
b. Se o atrito não é desprezível, o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície inclinada depende do valor de
.
c. Se o atrito não é desprezível, o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície inclinada é dado por
.
Assinale a(s) opção(ões) correta(s):
Escolha uma ou mais:
a. Se o bloco desce com rapidez (módulo da velocidade) constante,
b. Se o atrito não é desprezível, o coeficiente de atrito estático
c. Se o atrito não é desprezível, o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície inclinada