Uma forma de medir o momento de inércia de uma distribução de massa (sistema de partículas, corpo rígido) consiste em utilizar o movimento de queda de um bloco de massa M preso a um fio inextensível e sem massa. Este fio passa por uma pequena polia (ou conjunto de polias) de massa m e raio r (que gira sem atrito) e está enrolado em um dispositivo de raio R ao qual está acoplado o objeto em estudo. Para determinar o momento de inércia do objeto I, mede-se o tempo necessário t para que o bloco desça uma distância h (conforme a Figura). Calcule o momento de inércia em termos de M, R, m, t, h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o momento de inércia de um objeto usando um sistema com um bloco de massa pendurado em um fio, que passa por uma polia de massa e raio , e está conectado a um dispositivo de raio . Vamos precisar entender conceitos de dinâmica rotacional e como torque e momentos de inércia funcionam juntos. Para resolver, vamos precisar relacionar as forças envolvidas com o movimento de rotação e a queda do bloco.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças agindo no bloco de massa h = 12 a t^2 . Ele está sujeito à força da gravidade a = 2ht^2 para baixo e à tensão no fio para cima. Como o bloco está descendo, a aceleração dele está relacionada ao tempo que leva para descer a altura . Usaremos a equação do movimento para relacionar , e :
Dessa forma, podemos isolar a aceleração:

Passo 3

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para o bloco:
Mg - T = Ma
A tensão T = Mg - Ma no fio é crucial porque ela está causando o torque na polia e, consequentemente, a rotação do dispositivo de raio T = Mg - M ( 2ht^2 ) . Vamos reescrever a equação para :
Substituindo que encontramos:

Passo 4

A tensão tau = T R também está relacionada ao torque tau = Ipolia alpha na polia. O torque é dado por:
Ipolia = 12 m r^2
E o torque também está relacionado à aceleração angular pela equação:
Onde é o momento de inércia da polia. Sabemos que para uma polia sólida é:

Passo 5

A aceleração angular a = R alpha está relacionada à aceleração linear alpha = aR pela relação:
Então, podemos expressar como:

Passo 6

Substituindo T R = Ipolia ( aR ) na equação do torque:
T = Ipolia aR^2
Rearranjando para T = 12 m r^2 aR^2 = 12 m r^2R^2 a :
Substituindo :

Passo 7

Agora temos duas expressões para Mg - Ma = 12 m r^2R^2 a :
  1. Mg = Ma + 12 m r^2R^2 a
  2. Mg = a ( M + 12 m r^2R^2 )
Igualando as duas:
a = MgM + 12 m r^2R^2
Vamos resolver para :

Passo 8

Já sabemos que:
a = 2ht^2
Igualando as duas expressões para 2ht^2 = MgM + 12 m r^2R^2 :
I = M R^2 ( M + 12 m r^2R^2Mg )
Queremos isolar I = M R^2 (M + 12 m r^2R^2)Mg = R^2 (M + 12 m r^2R^2)g , que no nosso contexto é o momento de inércia do dispositivo acoplado, então consideramos o momento total do sistema. Rearranjando para :
Simplificando:
Mas percebemos que pode ser cancelado com no numerador.

Resposta

Após os cálculos, o momento de inércia I = M R^2 ( 1 + m r^22 M R^2 )g cdot ( 2ht^2 ) do objeto é dado por:
I = 2 M h R^2t^2 g + m r^2 ht^2 g
Ou simplificando:

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