Uma forma de medir o momento de inércia de uma distribução de massa (sistema de partículas, corpo rígido) consiste em utilizar o movimento de queda de um bloco de massa preso a um fio inextensível e sem massa. Este fio passa por uma pequena polia (ou conjunto de polias) de massa e raio (que gira sem atrito) e está enrolado em um dispositivo de raio ao qual está acoplado o objeto em estudo. Para determinar o momento de inércia do objeto , mede-se o tempo necessário para que o bloco desça uma distância (conforme a Figura). Calcule o momento de inércia em termos de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o momento de inércia de um objeto usando um sistema com um bloco de massa pendurado em um fio, que passa por uma polia de massa e raio , e está conectado a um dispositivo de raio . Vamos precisar entender conceitos de dinâmica rotacional e como torque e momentos de inércia funcionam juntos. Para resolver, vamos precisar relacionar as forças envolvidas com o movimento de rotação e a queda do bloco.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças agindo no bloco de massa . Ele está sujeito à força da gravidade para baixo e à tensão no fio para cima. Como o bloco está descendo, a aceleração dele está relacionada ao tempo que leva para descer a altura . Usaremos a equação do movimento para relacionar , e :
Dessa forma, podemos isolar a aceleração:

Passo 3

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para o bloco:
A tensão no fio é crucial porque ela está causando o torque na polia e, consequentemente, a rotação do dispositivo de raio . Vamos reescrever a equação para :
Substituindo que encontramos:

Passo 4

A tensão também está relacionada ao torque na polia. O torque é dado por:
E o torque também está relacionado à aceleração angular pela equação:
Onde é o momento de inércia da polia. Sabemos que para uma polia sólida é:

Passo 5

A aceleração angular está relacionada à aceleração linear pela relação:
Então, podemos expressar como:

Passo 6

Substituindo na equação do torque:
Rearranjando para :
Substituindo :

Passo 7

Agora temos duas expressões para :
Igualando as duas:
Vamos resolver para :

Passo 8

Já sabemos que:
Igualando as duas expressões para :
Queremos isolar , que no nosso contexto é o momento de inércia do dispositivo acoplado, então consideramos o momento total do sistema. Rearranjando para :
Simplificando:
Mas percebemos que pode ser cancelado com no numerador.

Resposta

Após os cálculos, o momento de inércia do objeto é dado por:
Ou simplificando:

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  • 32 Na Fig. 5-41, um caixote de massa é empurrado por uma forga horizontal que o laz subir uma rampa som atrito com velocidade constante. Ouais sato os modulos de (a) de e (b) da força que a rampa exerce sobre o caixole?
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Escolha uma opção:
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c. A razão entre as massas dos corpos e é igual a 0,5.
d. É impossível calcular o valor do módulo da força somente com essas informações.
e. O corpo C é o que possui maior massa.
Seja um bloco apoiado sobre uma superfície inclinada de um ângulo acima da horizontal.
Assinale a(s) opção(ões) correta(s):
Escolha uma ou mais:
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b. Se o atrito não é desprezível, o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície inclinada depende do valor de .
c. Se o atrito não é desprezível, o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície inclinada é dado por .