Forme a equação do plano que possui um ponto M(-2,1,3) e que é perpendicular à reta x2=y-13=-z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente formar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular a uma reta dada por . Aqui, estamos lidando com Geometria Analítica, especificamente com equações de planos e retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar identificar o vetor diretor da reta e usar esse vetor como normal do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. A equação da reta está na forma simétrica:
x2 = y-13 = -z
Isso significa que o vetor diretor d = (2, 3, -1) da reta é dado pelos coeficientes dos denominadores:

Passo 3

Como o plano é perpendicular à reta, o vetor normal do plano será paralelo ao vetor diretor da reta. Portanto, podemos usar .

Passo 4

A equação geral de um plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde é um ponto do plano e são as componentes do vetor normal . No nosso caso, o ponto é e .

Passo 5

Substituindo os valores na equação do plano:
2(x - (-2)) + 3(y - 1) -1(z - 3) = 0
Simplificando:
2(x + 2) + 3(y - 1) - (z - 3) = 0
2x + 4 + 3y - 3 - z + 3 = 0
2x + 3y - z + 4 = 0

Resposta

A equação do plano é:
2x + 3y - z + 4 = 0

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