|x cdot y|=|x||y| Leftrightarrow x, y são linearmente dependentes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois itens para mostrar envolvendo vetores:
Que a diferença entre as normas dos vetores x e y ao quadrado está limitada pela norma da diferença entre eles.
Que o produto interno de x e y igual ao produto de suas normas acontece se e somente se os vetores são linearmente dependentes.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como norma de vetores, produto interno, desigualdade triangular e dependência linear. Vamos por partes!
Passo 2
Vamos começar com o primeiro item:
||x| - |y|^2| <= |x - y|
Primeiro, é importante notar que geralmente a desigualdade triangular é aplicada da seguinte forma:
| |x| - |y| | <= |x - y|
No entanto, na nossa questão, temos |y|^2 em vez de |y|. Isso pode ser um erro de digitação no enunciado, porque a desigualdade faz mais sentido com a norma simples. Vou considerar que talvez tenha sido um erro e resolver com |y|. Se for realmente |y|^2, a desigualdade não se mantém de forma geral.
Então, assumindo que o correto seja:
| |x| - |y| | <= |x - y|
Essa é a desigualdade triangular para normas de vetores. Ela nos diz que a diferença entre as normas de dois vetores não é maior do que a norma da diferença entre eles.
Passo 3
Agora, vamos para o segundo item:
|x cdot y| = |x| |y| Leftrightarrow x, y são linearmente dependentes ã
Aqui, o que estamos vendo é o produto interno dos vetores x e y. Pelo produto interno, temos a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que afirma:
|x cdot y| <= |x| |y|
A igualdade ocorre se e somente se os vetores são linearmente dependentes, ou seja, um é múltiplo do outro.
Passo 4
Então, resumindo o que mostramos:
A primeira desigualdade é uma aplicação direta da desigualdade triangular para normas de vetores.
A segunda afirmação é uma consequência da igualdade de Cauchy-Schwarz, que caracteriza vetores linearmente dependentes.
Resposta
Assim, provamos que:
||x| - |y|| <= |x - y|
|x cdot y| = |x| |y| se e somente se x e y são linearmente dependentes.