Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois itens para mostrar envolvendo vetores:
Que a diferença entre as normas dos vetores e ao quadrado está limitada pela norma da diferença entre eles.
Que o produto interno de e igual ao produto de suas normas acontece se e somente se os vetores são linearmente dependentes.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como norma de vetores, produto interno, desigualdade triangular e dependência linear. Vamos por partes!
Passo 2
Vamos começar com o primeiro item:
Primeiro, é importante notar que geralmente a desigualdade triangular é aplicada da seguinte forma:
No entanto, na nossa questão, temos em vez de . Isso pode ser um erro de digitação no enunciado, porque a desigualdade faz mais sentido com a norma simples. Vou considerar que talvez tenha sido um erro e resolver com . Se for realmente , a desigualdade não se mantém de forma geral.
Então, assumindo que o correto seja:
Essa é a desigualdade triangular para normas de vetores. Ela nos diz que a diferença entre as normas de dois vetores não é maior do que a norma da diferença entre eles.
Passo 3
Agora, vamos para o segundo item:
ã
Aqui, o que estamos vendo é o produto interno dos vetores e . Pelo produto interno, temos a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que afirma:
A igualdade ocorre se e somente se os vetores são linearmente dependentes, ou seja, um é múltiplo do outro.
Passo 4
Então, resumindo o que mostramos:
A primeira desigualdade é uma aplicação direta da desigualdade triangular para normas de vetores.
A segunda afirmação é uma consequência da igualdade de Cauchy-Schwarz, que caracteriza vetores linearmente dependentes.