Uma formiga, situada no ponto 1,0 quer se deslocar no plano xy na expectativa de se aquecer ao máximo. Sabendo que a temperatura no ponto (x, y) é f(x, y) = 1/2 ln(x^2 + y^2), dê um versor que indique a direção e o sentido do deslocamento mais favorável à intenção da formiga.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma formiga no ponto 1,0 no plano XY e queremos descobrir para onde ela deve se mover para sentir a maior temperatura possível. A temperatura em qualquer ponto (x, y) é dada pela função . Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente, que nos indica a direção de máximo aumento de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função f(x, y). O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:

Passo 3

Calculando a derivada parcial de f em relação a x:
E a derivada parcial de f em relação a y:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto onde a formiga está, que é 1,0:
Esse vetor já indica a direção de máximo aumento, mas queremos um versor, ou seja, um vetor unitário na mesma direção.

Passo 5

Para transformar o vetor em um versor, calculamos seu comprimento (magnitude):
Como o comprimento já é 1, o próprio vetor já é um versor.

Resposta

O versor que indica a direção e o sentido do deslocamento mais favorável à intenção da formiga é .

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