Uma formiga, situada no ponto
quer se deslocar no plano xy na expectativa de se aquecer ao máximo. Sabendo que a temperatura no ponto
é
, dê um versor que indique a direção e o sentido do deslocamento mais favorável à intenção da formiga.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma formiga no ponto
no plano XY e queremos descobrir para onde ela deve se mover para sentir a maior temperatura possível. A temperatura em qualquer ponto
é dada pela função
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente, que nos indica a direção de máximo aumento de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto onde a formiga está, que é
:
Esse vetor
já indica a direção de máximo aumento, mas queremos um versor, ou seja, um vetor unitário na mesma direção.
Passo 5
Para transformar o vetor
em um versor, calculamos seu comprimento (magnitude):
Como o comprimento já é 1, o próprio vetor
já é um versor.
Resposta
O versor que indica a direção e o sentido do deslocamento mais favorável à intenção da formiga é
.
Exercícios relacionados
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
A temperatura sobre uma certa superfície é dada por
em
. Partindo da localização
, qual será a variação da temperatura de uma partícula na posição em que o vetor unitário é dado pelo ângulo
?
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções: