A temperatura sobre uma certa superfície é dada por em . Partindo da localização , qual será a variação da temperatura de uma partícula na posição em que o vetor unitário é dado pelo ângulo ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma função que descreve a temperatura numa superfície: em graus Celsius. O problema quer saber qual é a variação da temperatura quando uma partícula se move a partir do ponto na direção de um vetor cujo ângulo com o eixo é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente e a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função temperatura . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e nas expressões que encontramos:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Precisamos agora determinar o vetor unitário na direção do ângulo . Um vetor na direção de um ângulo é dado por:
Substituindo :
Esse é o nosso vetor unitário na direção desejada.

Passo 5

A variação da temperatura na direção do vetor unitário é dada pela derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A variação da temperatura é °C na direção do vetor com ângulo .

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