A fórmula empírica abaixo (proposta por Robert Manning), representa a velocidade média (
) em um canal aberto com escoamento uniforme, devido à ação da gravidade, estando no Sistema Inglês (BG):
Onde:
raio hidráulico do canal;
declividade do canal (tangente do ângulo que o fundo do canal faz com a horizontal);
fator de rugosidade de Manning (é uma constante para uma dada condição da superfície das paredes e do fundo do canal).
Verificar:
(a) A fórmula de Manning é dimensionalmente consistente?
(b) A Equação comumente é considerada válida em unidades BG com
considerado como adimensional. Reescreva a equação na forma do SI.
Resposta:
(a)A fórmula é incompatível, o lado esquerdo é diferente do lado direito da equação
(b) No sistema S.I.:
Verificar:
(a) A fórmula de Manning é dimensionalmente consistente?
(b) A Equação comumente é considerada válida em unidades BG com
(b) No sistema S.I.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata da fórmula de Manning, que calcula a velocidade média (
) em um canal aberto com escoamento uniforme. A matéria aqui envolve análise dimensional e sistema de unidades. Para resolver, precisaremos verificar se a fórmula é dimensionalmente consistente e depois ajustá-la para o Sistema Internacional de Unidades (SI).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula de Manning que está no Sistema Inglês (BG):
Aqui:
-
é a velocidade média. -
é o fator de rugosidade de Manning. -
é o raio hidráulico do canal. -
é a declividade do canal.
Para a parte (a), precisamos verificar se essa fórmula é dimensionalmente consistente, ou seja, se as unidades de ambos os lados da equação são iguais.
Passo 3
Vamos analisar as dimensões de cada termo na fórmula. No Sistema Inglês (BG), as unidades são geralmente expressas em pés e segundos.
As dimensões básicas são:
- Velocidade,
: pés por segundo (ft/s) - Raio hidráulico,
: pés (ft) - Declividade,
: adimensional (é a tangente de um ângulo) - Fator de rugosidade,
: adimensional
Agora, substituindo as dimensões na fórmula:
Como
e
são adimensionais, temos:
Substituindo as unidades:
As unidades do lado direito são pés elevados a
, enquanto o lado esquerdo é pés por segundo. Essas unidades não coincidem, o que indica que a fórmula não é dimensionalmente consistente no Sistema Inglês.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Queremos reescrever a equação de Manning no Sistema Internacional de Unidades (SI), onde
é considerado adimensional.
No SI, a fórmula de Manning tem uma forma semelhante, mas com um coeficiente diferente para garantir a consistência dimensional. A fórmula no SI é:
Aqui,
estará em metros por segundo (m/s),
em metros (m), e
continua adimensional.
Resposta
(a) A fórmula de Manning não é dimensionalmente consistente no Sistema Inglês, pois as unidades do lado esquerdo (
) são diferentes das unidades do lado direito (
).
(b) No Sistema Internacional de Unidades (SI), a equação de Manning é dada por: