A fórmula empírica abaixo (proposta por Robert Manning), representa a velocidade média ( V ) em um canal aberto com escoamento uniforme, devido à ação da gravidade, estando no Sistema Inglês (BG):
V=1,49n cdot R^2 / 3 cdot S^1 / 2
Onde: R= raio hidráulico do canal; S= declividade do canal (tangente do ângulo que o fundo do canal faz com a horizontal); n= fator de rugosidade de Manning (é uma constante para uma dada condição da superfície das paredes e do fundo do canal).
Verificar:
(a) A fórmula de Manning é dimensionalmente consistente?
(b) A Equação comumente é considerada válida em unidades BG com n considerado como adimensional. Reescreva a equação na forma do SI.

Resposta:

(a)A fórmula é incompatível, o lado esquerdo é diferente do lado direito da equação
(b) No sistema S.I.: V=1,0n cdot R^2 / 3 cdot S^1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata da fórmula de Manning, que calcula a velocidade média ( V) em um canal aberto com escoamento uniforme. A matéria aqui envolve análise dimensional e sistema de unidades. Para resolver, precisaremos verificar se a fórmula é dimensionalmente consistente e depois ajustá-la para o Sistema Internacional de Unidades (SI).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula de Manning que está no Sistema Inglês (BG):
V = 1,49n cdot R^2/3 cdot S^1/2
Aqui:
  • V é a velocidade média.
  • n é o fator de rugosidade de Manning.
  • R é o raio hidráulico do canal.
  • S é a declividade do canal.
Para a parte (a), precisamos verificar se essa fórmula é dimensionalmente consistente, ou seja, se as unidades de ambos os lados da equação são iguais.

Passo 3

Vamos analisar as dimensões de cada termo na fórmula. No Sistema Inglês (BG), as unidades são geralmente expressas em pés e segundos.
As dimensões básicas são:
  • Velocidade, V: pés por segundo (ft/s)
  • Raio hidráulico, R: pés (ft)
  • Declividade, S: adimensional (é a tangente de um ângulo)
  • Fator de rugosidade, n: adimensional
Agora, substituindo as dimensões na fórmula:
[V] = 1[n] cdot [R]^2/3 cdot [S]^1/2
Como n e S são adimensionais, temos:
[V] = [R]^2/3
Substituindo as unidades:
ft/s = (ft)^2/3
As unidades do lado direito são pés elevados a 2/3, enquanto o lado esquerdo é pés por segundo. Essas unidades não coincidem, o que indica que a fórmula não é dimensionalmente consistente no Sistema Inglês.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Queremos reescrever a equação de Manning no Sistema Internacional de Unidades (SI), onde n é considerado adimensional.
No SI, a fórmula de Manning tem uma forma semelhante, mas com um coeficiente diferente para garantir a consistência dimensional. A fórmula no SI é:
V = 1n cdot R^2/3 cdot S^1/2
Aqui, V estará em metros por segundo (m/s), R em metros (m), e S continua adimensional.

Resposta

(a) A fórmula de Manning não é dimensionalmente consistente no Sistema Inglês, pois as unidades do lado esquerdo ( ft/s) são diferentes das unidades do lado direito ( ft^2/3).
(b) No Sistema Internacional de Unidades (SI), a equação de Manning é dada por:
V = 1n cdot R^2/3 cdot S^1/2

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