A fórmula de Manning é dimensionalmente consistente?

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a pergunta. A gente precisa descobrir se a Fórmula de Manning é dimensionalmente consistente. Isso significa que, quando a gente olha para as unidades das grandezas na fórmula, elas devem se equilibrar, ou seja, ambos os lados da equação devem ter as mesmas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar saber quais são os componentes da Fórmula de Manning e as suas respectivas unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a Fórmula de Manning. Ela geralmente é escrita assim:
Onde:
  • é a velocidade da água (unidade: metros por segundo, ),
  • é o coeficiente de rugosidade de Manning (é uma quantidade adimensional),
  • é o raio hidráulico (unidade: metros, ),
  • é a inclinação do canal (é uma quantidade adimensional).

Passo 3

Agora, vamos verificar as dimensões de cada parte da fórmula. Primeiro, temos o lado esquerdo da equação, que é a velocidade . A dimensão de é:
Onde:
  • representa comprimento (metros),
  • representa tempo (segundos).

Passo 4

No lado direito da equação, temos . Vamos analisar cada parte:
  • : Como é adimensional, também é adimensional.
  • : Como tem dimensão de comprimento ( ), terá dimensão .
  • : Como é adimensional, também é adimensional.
Multiplicando tudo junto:

Passo 5

Agora, vamos comparar as dimensões de ambos os lados da equação:
  • Lado esquerdo ( ):
  • Lado direito:
Para que a fórmula seja dimensionalmente consistente, ambas as expressões devem ter as mesmas dimensões. Porém, não é igual a . Isso indica que as dimensões não estão equilibradas.

Resposta

Não, a Fórmula de Manning não é dimensionalmente consistente. As dimensões dos dois lados da equação não se igualam, indicando uma inconsist��ncia nas unidades.

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Uma bomba centrífuga com diâmetro de rotor de 200 mm , trabalha com uma eficiência de no ponto de operação de projeto, a uma vazão de e uma velocidade específica de projeto de 2323 (unidades: e ). Para obter uma vazão maior a bomba será equipada com um motor de 1750 rpm.
a) Usando os adimensionais necessários, determine os novos valores de vazão e de altura de carga que serão obtidos no ponto de operaçãoo da bomba
Identifique o Coeficiente de Rendimento ou Eficiência da bomba sabendo que este adimensional é uma combinação dos Coeficiente de vazão, Coeficiente manométrico e coeficiente de potência:
A Equação comumente é considerada válida em unidades BG com considerado como adimensional. Reescreva a equação na forma do SI.
Onde: raio hidráulico do canal; declividade do canal (tangente do ângulo que o fundo do canal faz com a horizontal); fator de rugosidade de Manning (é uma constante para uma dada condição da superfície das paredes e do fundo do canal).
Resp.: (a) A fórmula é incompatível, o lado esquerdo é diferente do lado direito da equação.
(b)
No sistema S.I.:
Calcule a razão entre a velocidade de um avião a jato e a velocidade do som para a altitude de . Nesta altitude a temperatura é e sabe-se que o avião percorre em 20 minutos. Classificar o tipo de escoamento, de acordo com o número de Mach.
Dados: do ar para estas condições é 1,4.
Resposta: razão entre a velocidade do avião e a velocidade do som = 0,84