Quais as fórmulas do momento de inércia de uma superficie por integração ( Ix e Iy )? E quando se fala em momento polar de inércia (j j0 ), qual a relação deste momento com Ix e Iy ? ( 1,0 ponto).
Boa prova!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as fórmulas do momento de inércia de uma superfície em relação aos eixos x e y usando integração. Além disso, queremos entender como o momento polar de inércia ( J0) se relaciona com esses momentos Ix e Iy. Vamos precisar usar conceitos de cálculo e física dos materiais, especificamente sobre momentos de inércia e integração sobre áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Essencialmente, ele mede como a massa (ou área, no caso de superfícies planas) está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para uma superfície plana, os momentos de inércia em relação aos eixos x e y são calculados pela integração das distâncias ao quadrado de cada ponto da área em relação a esses eixos.

Passo 3

Para calcular o momento de inércia em relação ao eixo x ( Ix), usamos a seguinte fórmula:
Ix = integral dupla y^2 , dA
Aqui, y é a coordenada vertical de um ponto na superfície, e dA é um elemento de área. Basicamente, estamos somando todas as contribuições de y^2 sobre toda a área para encontrar Ix.

Passo 4

De maneira similar, para o momento de inércia em relação ao eixo y ( Iy), a fórmula é:
Iy = integral dupla x^2 , dA
Nesta expressão, x é a coordenada horizontal de um ponto na superfície. Novamente, somamos todas as contribuições de x^2 sobre a área para obter Iy.

Passo 5

Agora, vamos falar sobre o momento polar de inércia ( J0). Esse momento considera a rotação da área em torno de um eixo perpendicular ao plano da superfície, geralmente passando pelo centro de massa. A relação entre J0, Ix e Iy é dada pela soma dos dois momentos de inércia:
J0 = Ix + Iy
Isso significa que o momento polar de inércia é simplesmente a soma dos momentos de inércia em relação aos eixos x e y.

Resposta

As fórmulas do momento de inércia por integração são:
Ix = integral dupla y^2 , dA e Iy = integral dupla x^2 , dA
Além disso, o momento polar de inércia ( J0) relaciona-se com Ix e Iy pela soma:
J0 = Ix + Iy

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