Quais as fórmulas do momento de inércia de uma superficie por integração (
e
)? E quando se fala em momento polar de inércia (j
), qual a relação deste momento com
e
? ( 1,0 ponto).
Boa prova!
Boa prova!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as fórmulas do momento de inércia de uma superfície em relação aos eixos
e
usando integração. Além disso, queremos entender como o momento polar de inércia (
) se relaciona com esses momentos
e
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo e física dos materiais, especificamente sobre momentos de inércia e integração sobre áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Essencialmente, ele mede como a massa (ou área, no caso de superfícies planas) está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para uma superfície plana, os momentos de inércia em relação aos eixos
e
são calculados pela integração das distâncias ao quadrado de cada ponto da área em relação a esses eixos.
Passo 3
Para calcular o momento de inércia em relação ao eixo
(
), usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
é a coordenada vertical de um ponto na superfície, e
é um elemento de área. Basicamente, estamos somando todas as contribuições de
sobre toda a área para encontrar
.
Passo 4
De maneira similar, para o momento de inércia em relação ao eixo
(
), a fórmula é:
Nesta expressão,
é a coordenada horizontal de um ponto na superfície. Novamente, somamos todas as contribuições de
sobre a área para obter
.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre o momento polar de inércia (
). Esse momento considera a rotação da área em torno de um eixo perpendicular ao plano da superfície, geralmente passando pelo centro de massa. A relação entre
,
e
é dada pela soma dos dois momentos de inércia:
Isso significa que o momento polar de inércia é simplesmente a soma dos momentos de inércia em relação aos eixos
e
.
Resposta
As fórmulas do momento de inércia por integração são:
Além disso, o momento polar de inércia (
) relaciona-se com
e
pela soma: