Formule os seguintes problemas em termos de soluções inteiras de equações:
b) O número de maneiras de distribuir
bolas idênticas em
caixas distintas com nenhuma caixa com menos de duas bolas.
b) O número de maneiras de distribuir
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema. Queremos descobrir de quantas maneiras podemos distribuir
bolas idênticas em
caixas distintas, de modo que nenhuma caixa fique com menos de duas bolas. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de soluções inteiras de equações na área de combinatória.
Passo 2
Vamos representar cada caixa por uma variável. Seja
o número de bolas na caixa
, onde
varia de 1 a
. Nosso objetivo é encontrar o número de soluções inteiras para a seguinte equação:
sujeita à condição de que cada
.
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição que simplifica as restrições. Definimos uma nova variável
para cada
da seguinte forma:
Dessa maneira, como
, temos que
.
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 4
Agora, nosso objetivo é encontrar o número de soluções inteiras não negativas para a equação:
Esse é um problema clássico de combinatória conhecido como “estrelas e barras”. A fórmula para encontrar o número de soluções é dada por:
Resposta
O número de maneiras de distribuir
bolas idênticas em
caixas distintas, com nenhuma caixa recebendo menos de duas bolas, é dado por:
Observação: Essa fórmula é válida quando
.
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