Formule os seguintes problemas em termos de soluções inteiras de equações:
b) O número de maneiras de distribuir r bolas idênticas em n caixas distintas com nenhuma caixa com menos de duas bolas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Queremos descobrir de quantas maneiras podemos distribuir bolas idênticas em caixas distintas, de modo que nenhuma caixa fique com menos de duas bolas. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de soluções inteiras de equações na área de combinatória.

Passo 2

Vamos representar cada caixa por uma variável. Seja o número de bolas na caixa , onde varia de 1 a . Nosso objetivo é encontrar o número de soluções inteiras para a seguinte equação:
sujeita à condição de que cada .

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição que simplifica as restrições. Definimos uma nova variável para cada da seguinte forma:
Dessa maneira, como , temos que .
Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 4

Agora, nosso objetivo é encontrar o número de soluções inteiras não negativas para a equação:
Esse é um problema clássico de combinatória conhecido como “estrelas e barras”. A fórmula para encontrar o número de soluções é dada por:

Resposta

O número de maneiras de distribuir bolas idênticas em caixas distintas, com nenhuma caixa recebendo menos de duas bolas, é dado por:
Observação: Essa fórmula é válida quando .

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