Quantas soluções inteiras positivas têm a equação
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar quantas soluções inteiras positivas existem para a equação
. Isso faz parte da matéria de Combinatória, especificamente no tópico de combinações com repetição. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de “estrelas e barras”.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar soluções inteiras positivas para essa equação. Queremos distribuir 23 unidades (as estrelas) entre 4 variáveis (
,
,
,
), onde cada variável recebe pelo menos 1 unidade.
Passo 3
Como cada variável deve receber pelo menos 1 unidade, vamos primeiro dar 1 para cada uma. Assim, temos
unidades restantes para distribuir livremente entre as 4 variáveis.
Passo 4
Agora, para distribuir essas 19 unidades restantes, usamos o método de “estrelas e barras”. Imaginamos as 19 estrelas representando as unidades e usamos 3 barras para separar as estrelas em 4 grupos (cada grupo correspondendo a uma variável).
Passo 5
A quantidade de maneiras de posicionar essas 3 barras entre as 19 estrelas é dada pela combinaç��o:
Isso porque estamos escolhendo 3 posições para as barras em um total de 22 posições (19 estrelas + 3 barras).
Passo 6
Calculando a combinação:
Resposta
Existem 1.540 soluções inteiras positivas para a equação
.