Quantas soluções inteiras positivas têm a equação ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar quantas soluções inteiras positivas existem para a equação . Isso faz parte da matéria de Combinatória, especificamente no tópico de combinações com repetição. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de “estrelas e barras”.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar soluções inteiras positivas para essa equação. Queremos distribuir 23 unidades (as estrelas) entre 4 variáveis ( , , , ), onde cada variável recebe pelo menos 1 unidade.

Passo 3

Como cada variável deve receber pelo menos 1 unidade, vamos primeiro dar 1 para cada uma. Assim, temos unidades restantes para distribuir livremente entre as 4 variáveis.

Passo 4

Agora, para distribuir essas 19 unidades restantes, usamos o método de “estrelas e barras”. Imaginamos as 19 estrelas representando as unidades e usamos 3 barras para separar as estrelas em 4 grupos (cada grupo correspondendo a uma variável).

Passo 5

A quantidade de maneiras de posicionar essas 3 barras entre as 19 estrelas é dada pela combinaç��o:
Isso porque estamos escolhendo 3 posições para as barras em um total de 22 posições (19 estrelas + 3 barras).

Passo 6

Calculando a combinação:

Resposta

Existem 1.540 soluções inteiras positivas para a equação .

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c) Se pedirmos para que os livros do mesmo assunto fiquem juntos.
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