Formule os seguintes problemas em termos de soluções inteiras de equações:
c) O número de maneiras de distribuir r bolas idênticas em n caixas distintas tal que as duas primeiras caixas tenham juntas p bolas.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos r bolas idênticas e n caixas distintas. Precisamos descobrir de quantas maneiras podemos distribuir essas bolas nas caixas, garantindo que as duas primeiras caixas, juntas, contenham exatamente p bolas. Para resolver isso, vamos usar a teoria de soluções inteiras de equações, especialmente o método chamado “estrelas e barras” que é muito útil em problemas de distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos definir variáveis para representar quantas bolas vão para cada caixa. Vamos chamar:
  • de bolas na primeira caixa,
  • de bolas na segunda caixa,
  • das bolas nas demais caixas.

Passo 3

Segundo o enunciado, as duas primeiras caixas juntas devem ter exatamente p bolas. Isso nos dá a primeira equação:
Além disso, o total de bolas distribuídas nas n caixas deve ser igual a r. Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir a primeira equação na segunda. Como , substituímos isso na equação total:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o número de soluções inteiras não negativas para as duas equações:
Para a primeira equação, usando o método de estrelas e barras, o número de soluções é:
Para a segunda equação, também aplicando o mesmo método, temos:

Resposta

O número de maneiras de distribuir as r bolas nas n caixas, com as duas primeiras juntas tendo p bolas, é dado por:

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