Formule os seguintes problemas em termos de soluções inteiras de equações:
c) O número de maneiras de distribuir
bolas idênticas em
caixas distintas tal que as duas primeiras caixas tenham juntas
bolas.
c) O número de maneiras de distribuir
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos
bolas idênticas e
caixas distintas. Precisamos descobrir de quantas maneiras podemos distribuir essas bolas nas caixas, garantindo que as duas primeiras caixas, juntas, contenham exatamente
bolas. Para resolver isso, vamos usar a teoria de soluções inteiras de equações, especialmente o método chamado “estrelas e barras” que é muito útil em problemas de distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos definir variáveis para representar quantas bolas vão para cada caixa. Vamos chamar:
-
de bolas na primeira caixa, -
de bolas na segunda caixa, -
das bolas nas demais caixas.
Passo 3
Segundo o enunciado, as duas primeiras caixas juntas devem ter exatamente
bolas. Isso nos dá a primeira equação:
Além disso, o total de bolas distribuídas nas
caixas deve ser igual a
. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir a primeira equação na segunda. Como
, substituímos isso na equação total:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o número de soluções inteiras não negativas para as duas equações:
Para a primeira equação, usando o método de estrelas e barras, o número de soluções é:
Para a segunda equação, também aplicando o mesmo método, temos:
Resposta
O número de maneiras de distribuir as
bolas nas
caixas, com as duas primeiras juntas tendo
bolas, é dado por:
Exercícios relacionados
Qual a probabilidade de tirar 7 jogando dois dados?
Considere um grupo de 13 pessoas. Se todos apertam as mãos, quantos apertos de mão teremos?
Formule os seguintes problemas em termos de soluções inteiras de equações e distribuição de bolas em caixas:
c) Seleção de 12 cervejas de 4 tipos com pelo menos duas de cada tipo.
c) Seleção de 12 cervejas de 4 tipos com pelo menos duas de cada tipo.
Um apostador possui 18 fichas e quer aposta-las em 4 cavalos, de modo que a aposta em cada cavalo seja de pelo menos uma ficha, de quantos modo o apostador pode realizar sua aposta?