Formule os seguintes problemas em termos de soluções inteiras de equações e distribuição de bolas em caixas:
c) Seleção de 12 cervejas de 4 tipos com pelo menos duas de cada tipo.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para formular o problema de selecionar 12 cervejas de 4 tipos, garantindo que haja pelo menos duas cervejas de cada tipo. Isso envolve combinatória, especificamente distribuição de objetos indistinguíveis em caixas distintas com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir isso em uma equação matemática. Seja o número de cervejas escolhidas de cada um dos 4 tipos. A soma total é 12:

Passo 3

Como precisamos de pelo menos duas de cada tipo, podemos ajustar a equação para facilitar. Vamos definir uma nova variável para cada tipo, subtraindo 2 de cada :
Assim, a nova equação fica:
Aqui, cada representa o número de cervejas além das 2 obrigatórias, e agora podemos ter .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o número de soluções inteiras não negativas para a equação . Isso é um clássico problema de distribuição de bolas em caixas.
A fórmula para isso é:
úçõ
onde (número de cervejas adicionais) e (tipos de cerveja).

Passo 5

Aplicando a fórmula:

Resposta

Existem 35 maneiras de selecionar 12 cervejas de 4 tipos, garantindo pelo menos duas de cada tipo.

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  • a) Mostre que o número de soluções inteiras não negativas de uma equação da forma , com inteiro é