Formule os seguintes problemas em termos de soluções inteiras de equações e distribuição de bolas em caixas:
c) Seleção de 12 cervejas de 4 tipos com pelo menos duas de cada tipo.
c) Seleção de 12 cervejas de 4 tipos com pelo menos duas de cada tipo.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para formular o problema de selecionar 12 cervejas de 4 tipos, garantindo que haja pelo menos duas cervejas de cada tipo. Isso envolve combinatória, especificamente distribuição de objetos indistinguíveis em caixas distintas com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir isso em uma equação matemática. Seja
o número de cervejas escolhidas de cada um dos 4 tipos. A soma total é 12:
Passo 3
Como precisamos de pelo menos duas de cada tipo, podemos ajustar a equação para facilitar. Vamos definir uma nova variável para cada tipo, subtraindo 2 de cada
:
Assim, a nova equação fica:
Aqui, cada
representa o número de cervejas além das 2 obrigatórias, e agora podemos ter
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o número de soluções inteiras não negativas para a equação
. Isso é um clássico problema de distribuição de bolas em caixas.
A fórmula para isso é:
onde
(número de cervejas adicionais) e
(tipos de cerveja).
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Resposta
Existem 35 maneiras de selecionar 12 cervejas de 4 tipos, garantindo pelo menos duas de cada tipo.
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Formule os seguintes problemas em termos de soluções inteiras de equações:
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caixas distintas tal que as duas primeiras caixas tenham juntas
bolas.
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, com inteiro é