Formule os seguintes problemas em termos de soluções inteiras de equações:
a) O número de maneiras de distribuir
bolas idênticas em
caixas distintas com pelo menos
bolas na primeira caixa.
a) O número de maneiras de distribuir
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A gente precisa descobrir de quantas maneiras podemos distribuir
bolas idênticas em
caixas diferentes, mas com uma condição: a primeira caixa tem que ter pelo menos
bolas. Vamos usar conceitos de combinatória e soluções inteiras de equações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como representar isso matematicamente. Vamos chamar de
o número de bolas na primeira caixa, e
o número de bolas nas outras caixas. A gente sabe que a soma de todas as bolas deve dar
, ou seja:
Passo 3
Agora, temos que considerar a condição de que a primeira caixa tem pelo menos
bolas. Isso significa que
não pode ser menor que
, então:
Já as outras caixas (
) podem ter qualquer quantidade de bolas, inclusive zero:
Passo 4
Para facilitar a resolução, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir uma nova variável
. Assim,
será pelo menos zero:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Resposta
A formulação do problema, em termos de soluções inteiras de equações, é: