Formule os seguintes problemas em termos de soluções inteiras de equações:
a) O número de maneiras de distribuir r bolas idênticas em n caixas distintas com pelo menos k bolas na primeira caixa.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A gente precisa descobrir de quantas maneiras podemos distribuir r bolas idênticas em n caixas diferentes, mas com uma condição: a primeira caixa tem que ter pelo menos k bolas. Vamos usar conceitos de combinatória e soluções inteiras de equações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como representar isso matematicamente. Vamos chamar de o número de bolas na primeira caixa, e o número de bolas nas outras caixas. A gente sabe que a soma de todas as bolas deve dar r, ou seja:

Passo 3

Agora, temos que considerar a condição de que a primeira caixa tem pelo menos k bolas. Isso significa que não pode ser menor que k, então:
Já as outras caixas ( ) podem ter qualquer quantidade de bolas, inclusive zero:

Passo 4

Para facilitar a resolução, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir uma nova variável . Assim, será pelo menos zero:
Substituindo na equação original:
Simplificando:

Resposta

A formulação do problema, em termos de soluções inteiras de equações, é:

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