Uma fornalha para a produção de cristais é usada em uma pesquisa para determinar a melhor maneira de manufaturar os cristais utilizados em componentes eletrônicos para os veículos espaciais. Para a produção perfeita do cristal, a temperatura deve ser controlada precisamente, ajustando-se a potência de entrada. Suponha que a relação seja dada por
onde é a temperatura em graus Celsius e é a potência de entrada em watts.
© Em termos de definição e , de , o que é ? O que é ? O que é ? Qual valor de é dado? Qual o valor correspondente de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me forneceu um problema onde temos uma relação entre a temperatura e a potência de entrada na fornalha, dada pela função:
O conteúdo que estamos lidando aqui é o cálculo de limites, especificamente a definição de limite usando e . Para resolver essa questão, vamos precisar entender a definição formal de limite:
A definição diz que significa que para todo , existe um tal que sempre que , então .

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar cada parte dessa definição no contexto do nosso problema.
  • : É a variável independente que está se aproximando de um valor específico .
  • : É a função que estamos analisando, neste caso, .
  • : É o valor que se aproxima quando tende a .
  • : É um número positivo que representa a margem de erro permitida para estar próximo de .
  • : É o número positivo que define o intervalo ao redor de onde a condição deve ser satisfeita.

Passo 3

Agora, mapeando isso para a nossa função :
  • : Neste caso, é a potência de entrada .
  • : A função corresponde a , que é a temperatura em função da potência.
  • : É o valor que a temperatura está se aproximando quando tende a algum valor específico .

Passo 4

Para a parte das perguntas:
  • O que é ?
    é a potência de entrada na fornalha.
  • O que é ?
    é a função que relaciona a potência à temperatura , ou seja, .
  • O que é ?
    é o valor que a temperatura está se aproximando quando a potência se aproxima de .
  • Qual valor de é dado?
    O problema não especifica um valor concreto para ; na definição de limite, é geralmente um valor arbitrário positivo que você escolhe para definir a proximidade desejada entre e .
  • Qual o valor correspondente de ?
    Similarmente, não é um valor fixo, mas sim uma função de . Para cada escolhido, existe um que satisfaz a condição da definição do limite.

Resposta

Resumindo:
  • é a potência de entrada .
  • é a função .
  • é o valor que se aproxima quando tende a .
  • é um valor positivo arbitrário que define a margem de erro para a proximidade de a .
  • é o valor correspondente que define o intervalo ao redor de onde a condição é satisfeita.

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Uma fornalha para a produção de cristais é usada em uma pesquisa para determinar a melhor maneira de manufaturar os cristais utilizados em componentes eletrônicos para os veículos espaciais. Para a produção perfeita do cristal, a temperatura deve ser controlada precisamente, ajustando-se a potência de entrada. Suponha que a relação seja dada por
onde é a temperatura em graus Celsius e é a potência de entrada em watts.
(a) Qual a potência necessária para manter a temperatura em ?
Calcule
(d)
Calcule
©
Mostre por meio de um exemplo que pode existir mesmo e não existam.