Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as seguintes igualdades: (x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=36 e x=-2;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar. Precisamos descrever geometricamente o conjunto de pontos no espaço que satisfazem as equações (x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=36 e x=-2. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre esferas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação (x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=36. Essa é a equação geral de uma esfera no espaço tridimensional. A forma geral da equação de uma esfera é (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2, onde (a, b, c) é o centro da esfera e r é o seu raio.

Passo 3

Comparando as duas equações, podemos identificar que o centro da esfera é no ponto (1, -2, -1) e o raio da esfera é raiz36 = 6.

Passo 4

Agora, vamos considerar a segunda equação x = -2. Essa equação representa um plano vertical no espaço, paralelo ao eixo y e z, onde todas as coordenadas x dos pontos nesse plano são iguais a -2.

Passo 5

Para encontrar o conjunto de pontos que satisfazem ambas as equações, precisamos determinar a interseção entre a esfera e o plano. Geometricamente, a interseção entre uma esfera e um plano pode resultar em um círculo, um ponto ou nenhum ponto, dependendo da posição do plano em relação à esfera.

Passo 6

Vamos substituir x = -2 na equação da esfera para encontrar a interseção:
(-2 - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 36
Simplificando:
(-3)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 36 9 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 36

Passo 7

Agora, subtraímos 9 de ambos os lados da equação:
(y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 27

Passo 8

A equação resultante (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 27 representa um círculo no plano x = -2. O centro desse círculo é no ponto (y, z) = (-2, -1) e o raio é raiz27 = 3raiz3.

Resposta

O conjunto de pontos é um círculo de raio 3raiz3 com centro em (-2, -2, -1), localizado no plano vertical x = -2.

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