Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as seguintes igualdades: e ;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar. Precisamos descrever geometricamente o conjunto de pontos no espaço que satisfazem as equações e . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre esferas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Essa é a equação geral de uma esfera no espaço tridimensional. A forma geral da equação de uma esfera é , onde é o centro da esfera e é o seu raio.

Passo 3

Comparando as duas equações, podemos identificar que o centro da esfera é no ponto e o raio da esfera é .

Passo 4

Agora, vamos considerar a segunda equação . Essa equação representa um plano vertical no espaço, paralelo ao eixo y e z, onde todas as coordenadas x dos pontos nesse plano são iguais a -2.

Passo 5

Para encontrar o conjunto de pontos que satisfazem ambas as equações, precisamos determinar a interseção entre a esfera e o plano. Geometricamente, a interseção entre uma esfera e um plano pode resultar em um círculo, um ponto ou nenhum ponto, dependendo da posição do plano em relação à esfera.

Passo 6

Vamos substituir na equação da esfera para encontrar a interseção:
Simplificando:

Passo 7

Agora, subtraímos 9 de ambos os lados da equação:

Passo 8

A equação resultante representa um círculo no plano . O centro desse círculo é no ponto e o raio é .

Resposta

O conjunto de pontos é um círculo de raio com centro em , localizado no plano vertical .

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