Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as seguintes igualdades:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para descrever geometricamente o conjunto de pontos no espaço que satisfazem as equações
e
. Estamos trabalhando com Geometria Analítica, onde vamos analisar essas equações para entender a forma que elas representam no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação
. Essa equação é bem direta: ela define um plano paralelo ao plano
que está localizado a uma altura de 2 unidades acima do plano
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação
. Essa é uma equação de segundo grau em
e
, e parece com a equação de um círculo. Para confirmar, precisamos completarmos o quadrado para
e para
.
Passo 4
Completemos o quadrado para
:
E para
:
Passo 5
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Então:
Essa é a equação de um círculo com centro em
e raio
, já que
.
Passo 6
Juntando as duas informações: o círculo está no plano
e tem centro em
com raio 4. Portanto, todos os pontos que pertencem a esse conjunto estão no plano
formando um círculo específico.
Resposta
O conjunto de pontos é um círculo de raio
, centrado no ponto
e localizado no plano
.
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e
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pode ser escrito como combinação linear do vetores
e
.
Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as seguintes conjuntos de inequações e equações:
e
;