Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as seguintes igualdades: x^2+y^2-2 x+2 y-14=0 e z=2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para descrever geometricamente o conjunto de pontos no espaço que satisfazem as equações e . Estamos trabalhando com Geometria Analítica, onde vamos analisar essas equações para entender a forma que elas representam no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação . Essa equação é bem direta: ela define um plano paralelo ao plano que está localizado a uma altura de 2 unidades acima do plano .

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação . Essa é uma equação de segundo grau em e , e parece com a equação de um círculo. Para confirmar, precisamos completarmos o quadrado para e para .

Passo 4

Completemos o quadrado para x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1 :
y^2 + 2y = (y^2 + 2y + 1) - 1 = (y + 1)^2 - 1
E para :

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
(x - 1)^2 - 1 + (y + 1)^2 - 1 - 14 = 0
Simplificando:
(x - 1)^2 + (y + 1)^2 - 16 = 0
Então:
(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 16
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio , já que .

Passo 6

Juntando as duas informações: o círculo está no plano e tem centro em com raio 4. Portanto, todos os pontos que pertencem a esse conjunto estão no plano formando um círculo específico.

Resposta

O conjunto de pontos é um círculo de raio , centrado no ponto e localizado no plano .

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