Quais dos seguintes operadores de
em
são lineares? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o operador
definido por
é linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser linear. Vamos usar os conceitos de adição de vetores e multiplicação por escalar dentro de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de um operador linear. Um operador
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades forem verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para o operador
.
Passo 3
Verificando a aditividade:
Sejam
e
. Então:
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Verificando a homogeneidade:
Para um escalar
e um vetor
:
Portanto, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como o operador
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ele é linear.