Quais dos seguintes operadores de em são lineares? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o operador definido por é linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser linear. Vamos usar os conceitos de adição de vetores e multiplicação por escalar dentro de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de um operador linear. Um operador é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes propriedades forem verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para o operador .

Passo 3

Verificando a aditividade:
Sejam e . Então:
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Verificando a homogeneidade:
Para um escalar e um vetor :
Portanto, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como o operador satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ele é linear.

Exercícios relacionados

Seja o operador linear de tal que e . Determine o núcleo e a imagem de
Seja o espaço vetorial das matrizes sobre . Verifique quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaços de .
a)
b) é triangular superior (Pesquise o que é uma matriz triangular superior).
c) é diagonal (Pesquise o que é uma matriz diagonal).
d) possui inversa
Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coordenadas satisfazem as seguintes equações: ;
Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as seguintes igualdades: e ;