Quais dos seguintes operadores de
em
são lineares? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o operador
definido por
é linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser linear. Vamos usar os conceitos de adição de vetores e multiplicação por escalar dentro de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de um operador linear. Um operador
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades forem verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para o operador
.
Passo 3
Verificando a aditividade:
Sejam
e
. Então:
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Verificando a homogeneidade:
Para um escalar
e um vetor
:
Portanto, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como o operador
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ele é linear.
Exercícios relacionados
Seja
o operador linear de
tal que
e
. Determine o núcleo e a imagem de
Seja
o espaço vetorial das matrizes
sobre
. Verifique quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaços de
.
a)
b) é triangular superior
(Pesquise o que é uma matriz triangular superior).
c) é diagonal
(Pesquise o que é uma matriz diagonal).
d) possui inversa
a)
b)
c)
d)
Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coordenadas satisfazem as seguintes equações:
;
Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as seguintes igualdades:
e
;