Quais dos seguintes operadores de R^3 em R^3 são lineares? Justifique a sua resposta. A1(x, y, z)=(x-y, x+y, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o operador A1: R^3 R^3 definido por A1(x, y, z) = (x - y, x + y, 0) é linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser linear. Vamos usar os conceitos de adição de vetores e multiplicação por escalar dentro de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de um operador linear. Um operador A é linear se, para quaisquer vetores u, v in R^3 e qualquer escalar c in R, as seguintes propriedades forem verdadeiras:
  1. Aditividade: A(u + v) = A(u) + A(v)
  2. Homogeneidade: A(cu) = c,A(u)
Vamos verificar essas duas propriedades para o operador A1.

Passo 3

Verificando a aditividade:
Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2). Então:
A1(u + v) = A1(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) - (y1 + y2), (x1 + x2) + (y1 + y2), 0)
= ( (x1 - y1) + (x2 - y2), (x1 + y1) + (x2 + y2), 0 + 0 ) = A1(u) + A1(v)
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Verificando a homogeneidade:
Para um escalar c in R e um vetor u = (x, y, z):
A1(cu) = A1(cx, cy, cz) = (cx - cy, cx + cy, 0)
= c(x - y, x + y, 0) = c,A1(u)
Portanto, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como o operador A1 satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ele é linear.

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