Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as seguintes igualdades:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descrever geometricamente o conjunto de pontos no espaço que satisfazem a equação
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre esferas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado nas variáveis
e
para colocar a equação na forma padrão de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos semelhantes:
Agora, nosso objetivo é completar o quadrado para as variáveis
e
.
Passo 3
Para completar o quadrado em
, pegamos o coeficiente de
, que é 8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Fazemos o mesmo para
:
Passo 4
Adicionamos e subtraímos esses valores na equação para manter o equilíbrio:
Isso nos ajuda a formar os quadrados perfeitos.
Passo 5
Agora, reescrevemos a equação agrupando os termos completos:
Simplificamos:
Passo 6
Isolamos os termos constantes:
Passo 7
Agora, temos a equação na forma padrão de uma esfera:
Comparando com o que temos:
- Centro da esfera
- Raio
Resposta
O conjunto de pontos que satisfazem a equação
forma uma esfera com centro no ponto
e raio 2 unidades.
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pode ser escrito como combinação linear do vetores
e
.