Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as seguintes igualdades: z^2+x^2+y^2+8 x-6 y+21=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descrever geometricamente o conjunto de pontos no espaço que satisfazem a equação . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre esferas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado nas variáveis e para colocar a equação na forma padrão de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos semelhantes:
x^2 + 8x + y^2 - 6y + z^2 + 21 = 0
Agora, nosso objetivo é completar o quadrado para as variáveis e .

Passo 3

Para completar o quadrado em ( 82 )^2 = 16 , pegamos o coeficiente de ( -62 )^2 = 9 , que é 8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Fazemos o mesmo para :

Passo 4

Adicionamos e subtraímos esses valores na equação para manter o equilíbrio:
x^2 + 8x + 16 - 16 + y^2 - 6y + 9 - 9 + z^2 + 21 = 0
Isso nos ajuda a formar os quadrados perfeitos.

Passo 5

Agora, reescrevemos a equação agrupando os termos completos:
(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 6y + 9) + z^2 + 21 - 16 - 9 = 0
Simplificamos:
(x + 4)^2 + (y - 3)^2 + z^2 - 4 = 0

Passo 6

Isolamos os termos constantes:
(x + 4)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 4

Passo 7

Agora, temos a equação na forma padrão de uma esfera:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
Comparando com o que temos:
  • Centro da esfera
  • Raio

Resposta

O conjunto de pontos que satisfazem a equação forma uma esfera com centro no ponto e raio 2 unidades.

Exercícios relacionados