Verificar de quantas maneiras o vetor v-(5,2) pode ser escrito como combinação linear do vetores v1=(1,0), v2=(0,1) e v3=(3,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir de quantas maneiras o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e . Isso envolve entender o que é combinação linear e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes que multiplicam cada vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa combinação linear. Uma combinação linear dos vetores a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = v é uma expressão da forma:
onde são números reais que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos substituir os valores dos vetores na equação:
a cdot (1,0) + b cdot (0,1) + c cdot (3,1) = (5,2)
Isso resulta em duas equações, uma para cada componente do vetor:
a + 3c = 5 b + c = 2

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. A segunda equação é mais simples, então resolvemos para c = 2 - b :

Passo 5

Substituímos a + 3(2 - b) = 5 na primeira equação:
a + 6 - 3b = 5 a - 3b = -1 a = 3b - 1
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos expressões para a = 3b - 1 c = 2 - b e em termos de :
Isso significa que pode ser qualquer número real, e os outros coeficientes dependem do valor escolhido para .

Resposta

Existem infinitas maneiras de escrever o vetor como combinação linear dos vetores e , dependendo do valor que escolhermos para .

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