Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as seguintes conjuntos de inequações e equações: e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descrever geometricamente os pontos no espaço que satisfazem as equações e inequações dadas: , e . Vamos usar conceitos de geometria analítica para entender o que cada uma dessas expressões representa e como elas se combinam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação . Essa é a equação de um círculo no plano cartesiano. A fórmula geral de um círculo é , onde é o raio. Então, aqui temos um círculo com raio (porque ) e centrado na origem .
Passo 3
Agora, vamos olhar para a inequação . Essa inequação representa todos os pontos no plano onde a coordenada é menor ou igual a . Geometricamente, isso é a região à esquerda da linha vertical no plano cartesiano.
Passo 4
Em seguida, temos a inequação . Essa inequação descreve todos os pontos onde a coordenada é maior ou igual a . Geometricamente, é a região acima da linha horizontal no plano.
Passo 5
Agora, vamos combinar essas três condições para encontrar os pontos que satisfazem todas ao mesmo tempo. Primeiro, sabemos que os pontos devem estar no círculo de raio centrado na origem. Em segundo lugar, esses pontos devem estar à esquerda de e, por último, acima de .
Passo 6
Vamos verificar se há pontos que satisfazem todas essas condições. Considerando o círculo , o ponto mais alto do círculo está em (quando ). Vamos ver se esse ponto satisfaz as inequações:
- Para : é verdadeiro.
- Para : também é verdadeiro.
Passo 7
Agora, verificamos se há outros pontos no círculo que também satisfazem as inequações e . Olhando para o círculo, percebemos que o único ponto onde é exatamente quando e . Não há outros pontos no círculo com , pois isso sairia da circunferência definida.
Resposta
O conjunto de pontos que satisfazem as equações e inequações dadas é o único ponto .
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