Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coordenadas satisfazem as seguintes equações:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos descrever geometricamente o conjunto de pontos
que satisfazem essa equação. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre as seções cônicas e como identificar o tipo de figura que a equação representa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3 para facilitar os cálculos:
Passo 3
A equação
contém o termo
, que indica que os eixos podem estar rotacionados. Para identificar a figura geométrica, precisamos eliminar o termo
fazendo uma rotação de coordenadas.
Passo 4
O ângulo de rotação
que elimina o termo
pode ser encontrado usando a fórmula:
Onde na nossa equação,
,
, e
. Então:
Isso significa que
, logo
.
Passo 5
Com
, aplicamos a rotação de coordenadas usando as seguintes transformações:
Substituindo
, temos:
Passo 6
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 7
A equação
representa duas retas paralelas no sistema de coordenadas rotacionado. Voltando ao sistema original, essas retas estão rotacionadas
em relação aos eixos
e
.
Resposta
O conjunto de pontos que satisfazem a equação
forma duas retas paralelas no plano, que estão inclinadas a
em relação aos eixos coordenados originais.
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ou
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