Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coordenadas satisfazem as seguintes equações: 3 x^2+3 y^2+6 x y=9.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação 3x^2 + 3y^2 + 6xy = 9 e precisamos descrever geometricamente o conjunto de pontos (x, y) que satisfazem essa equação. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre as seções cônicas e como identificar o tipo de figura que a equação representa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3 para facilitar os cálculos:
x^2 + y^2 + 2xy = 3

Passo 3

A equação x^2 + y^2 + 2xy = 3 contém o termo 2xy, que indica que os eixos podem estar rotacionados. Para identificar a figura geométrica, precisamos eliminar o termo xy fazendo uma rotação de coordenadas.

Passo 4

O ângulo de rotação theta que elimina o termo xy pode ser encontrado usando a fórmula:
tan(2theta) = 2BA - C
Onde na nossa equação, A = 1, B = 1, e C = 1. Então:
tan(2theta) = 2 times 11 - 1 = 20
Isso significa que 2theta = 90^circ, logo theta = 45^circ.

Passo 5

Com theta = 45^circ, aplicamos a rotação de coordenadas usando as seguintes transformações:
x = x'costheta - y'sintheta y = x'sintheta + y'costheta
Substituindo theta = 45^circ, temos:
x = x' - y'raiz2 y = x' + y'raiz2

Passo 6

Substituindo x e y na equação original:
(x' - y'raiz2)^2 + (x' + y'raiz2)^2 + 2(x' - y'raiz2)(x' + y'raiz2) = 3
Simplificando os termos:
(x' - y')^22 + (x' + y')^22 + 2 cdot (x'^2 - y'^2)2 = 3 x'^2 - 2x'y' + y'^2 + x'^2 + 2x'y' + y'^22 + x'^2 - y'^2 = 3 2x'^2 + 2y'^22 + x'^2 - y'^2 = 3 x'^2 + y'^2 + x'^2 - y'^2 = 3 2x'^2 = 3 x'^2 = 32

Passo 7

A equação x'^2 = 32 representa duas retas paralelas no sistema de coordenadas rotacionado. Voltando ao sistema original, essas retas estão rotacionadas 45^circ em relação aos eixos x e y.

Resposta

O conjunto de pontos que satisfazem a equação 3x^2 + 3y^2 + 6xy = 9 forma duas retas paralelas no plano, que estão inclinadas a 45^circ em relação aos eixos coordenados originais.

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