Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coordenadas satisfazem as seguintes equações: .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos descrever geometricamente o conjunto de pontos que satisfazem essa equação. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre as seções cônicas e como identificar o tipo de figura que a equação representa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3 para facilitar os cálculos:

Passo 3

A equação contém o termo , que indica que os eixos podem estar rotacionados. Para identificar a figura geométrica, precisamos eliminar o termo fazendo uma rotação de coordenadas.

Passo 4

O ângulo de rotação que elimina o termo pode ser encontrado usando a fórmula:
Onde na nossa equação, , , e . Então:
Isso significa que , logo .

Passo 5

Com , aplicamos a rotação de coordenadas usando as seguintes transformações:
Substituindo , temos:

Passo 6

Substituindo e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 7

A equação representa duas retas paralelas no sistema de coordenadas rotacionado. Voltando ao sistema original, essas retas estão rotacionadas em relação aos eixos e .

Resposta

O conjunto de pontos que satisfazem a equação forma duas retas paralelas no plano, que estão inclinadas a em relação aos eixos coordenados originais.

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