Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coordenadas satisfazem as seguintes inequações e/ou conjunto de inequações ou equações: (x-1)^2+(y+2)^2 >= 4 e (x-1)^2+(y-1)^2 <= 9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descrever geometricamente todos os pontos no plano que satisfazem as inequações (x-1)^2+(y+2)^2 >= 4 e (x-1)^2+(y-1)^2 <= 9. Isso envolve estudar círculos no plano cartesiano e entender onde esses conjuntos se sobrepõem ou se separam. Vamos precisar identificar os centros e os raios desses círculos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações dos círculos envolvidas. A forma geral de uma equação de círculo é (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2, onde (h,k) é o centro e r é o raio.

Passo 3

Olha só a primeira inequação: (x-1)^2 + (y+2)^2 >= 4. Aqui, comparando com a forma geral, temos:
  • Centro: (1, -2)
  • Raio: raiz4 = 2
Como a desigualdade é maior ou igual a, isso significa que estamos falando de todos os pontos fora ou na borda desse círculo.

Passo 4

Agora, a segunda inequação: (x-1)^2 + (y-1)^2 <= 9. Novamente, comparando com a forma geral:
  • Centro: (1, 1)
  • Raio: raiz9 = 3
Aqui, a desigualdade é menor ou igual a, então estamos considerando todos os pontos dentro ou na borda desse círculo.

Passo 5

Vamos visualizar isso: temos dois círculos com o mesmo valor de x no centro, ou seja, ambos estão alinhados verticalmente em x = 1. O primeiro círculo está centrado em (1, -2) com raio 2, e o segundo em (1, 1) com raio 3.

Passo 6

Para entender como esses círculos se relacionam, vamos calcular a distância entre os centros deles. A distância entre (1, -2) e (1, 1) é:
d = raiz(1-1)^2 + (1 - (-2))^2 = raiz0 + 9 = 3

Passo 7

Agora, compara a distância entre os centros ( 3) com a soma dos raios ( 2 + 3 = 5) e a diferença dos raios ( 3 - 2 = 1):
  • Como 1 < 3 < 5, os círculos se se intersectam.

Passo 8

A interseção das regiões definidas pelas inequações será a área que está fora ou na borda do primeiro círculo e dentro ou na borda do segundo círculo. Isso forma uma espécie de “anel” ou região em forma de “lente” entre os dois círculos onde ambas as condições são satisfeitas.

Resposta

Os pontos que satisfazem as inequações estão localizados fora ou na borda do círculo com centro em (1, -2) e raio 2 e dentro ou na borda do círculo com centro em (1, 1) e raio 3. Geometricamente, isso forma uma região em forma de lente entre os dois círculos no plano cartesiano.

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