Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, prove. Se for falso, apresente um contra-exemplo.
b) ( ) Se a primeira e a terceira linhas de são iguais, então também são iguais a primeira e a terceira linhas de .
Passo 1
Vamos lá! O exercício pergunta: “Se a primeira e a terceira linhas de são iguais, então também são iguais a primeira e a terceira linhas de .” Estamos trabalhando com matrizes e multiplicação de matrizes. Para resolver isso, precisamos entender como a multiplicação de matrizes funciona, especialmente como as linhas de uma matriz afetam o produto final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a multiplicação de matrizes funciona. Se temos duas matrizes e , o produto é obtido multiplicando as linhas de pelas colunas de . Ou seja, cada elemento de é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de e das colunas de .
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação do exercício. Ele diz que se as primeiras e terceiras linhas de são iguais, isso implicaria que as primeiras e terceiras linhas de também seriam iguais. Para verificar se isso é sempre verdade, precisamos pensar se a igualdade das linhas de garante a igualdade das linhas correspondentes em .
Passo 4
Vamos testar isso com um contra-exemplo, ou seja, encontrar matrizes e onde as primeiras e terceiras linhas de são iguais, mas as primeiras e terceiras linhas de não são iguais.
Passo 5
Considere as seguintes matrizes:
Aqui, as primeiras e terceiras linhas de são iguais:
Passo 6
Vamos calcular :
Passo 7
Perceba que resulta na matriz . Como essa matriz tem apenas duas linhas, não podemos comparar a primeira e a terceira linha de , já que só tem duas linhas. Portanto, esse contra-exemplo mostra que a afirmação não se sustenta em geral.
Resposta
Falso. Um contra-exemplo é quando e . Aqui, as primeiras e terceiras linhas de são iguais, mas não tem terceira linha, mostrando que a afirmação não é verdadeira em geral.