Um fóton de energia inicial h f0 após ser espalhado por efeito Compton a 60^circ incide numa placa metálica e ejeta um elétron com energia cinética K1. Quando o espalhamento é a 180^circ o fóton espalhado ejeta um elétron com energia cinética K2.
(a) Explique em qual dos dois casos o elétron ejetado tem maior energia cinética.
(b) Calcule a função trabalho, phi0, do metal.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fóton com energia inicial que sofre espalhamento Compton em dois ângulos diferentes: e . Após cada espalhamento, o fóton espalhado atinge uma placa metálica e ejeta um elétron com energia cinética e respectivamente. O conteúdo da matéria envolvido aqui é o efeito Compton, que estuda a mudança na energia e no comprimento de onda de fótons quando eles interagem com elétrons. Para resolver a questão, vamos precisar entender a relação entre o ângulo de espalhamento, a energia do fóton espalhado e a energia cinética do elétron ejetado.

Passo 2

Vamos começar analisando o efeito Compton. A fórmula que relaciona o comprimento de onda inicial ( lambda - lambda0 = hmec (1 - cos theta) ) e o final ( ) do fóton espalhado é dada por:
Onde:
  • é a constante de Planck,
  • é a massa do elétron,
  • é a velocidade da luz,
  • é o ângulo de espalhamento.
Essa fórmula mostra que o comprimento de onda do fóton aumenta (energia diminui) com o aumento do ângulo .

Passo 3

A energia do fóton está relacionada com o comprimento de onda pela relação:
E = h clambda
Então, se o comprimento de onda aumenta, a energia do fóton diminui. Assim, quanto maior o ângulo de espalhamento , menor será a energia do fóton espalhado.

Passo 4

A energia cinética do elétron ejetado ( K = Efóton espalhado - phi0 ) é dada pela diferença entre a energia do fóton incidente e a energia necessária para ejetar o elétron ( ), que é a função trabalho do metal:
ó
Portanto, se a energia do fóton espalhado diminui, a energia cinética do elétron também diminui, assumindo que permanece constante.

Passo 5

No primeiro caso, o ângulo de espalhamento é , e no segundo caso é . Como vimos, quanto maior o ângulo, menor a energia do fóton espalhado. Portanto, para , a energia do fóton espalhado será menor do que para .

Passo 6

Substituindo na equação da energia cinética:
  • Para K2 = E180 - phi0 < E60 - phi0 = K1 :
  • Para :
Como , então:

Passo 7

Portanto, o elétron ejetado com espalhamento a tem maior energia cinética do que aquele ejetado a .

Passo 8

Agora, vamos calcular a função trabalho K = Efóton espalhado - phi0 do metal. Sabemos que:
phi0 = Efóton espalhado - K ó
Precisamos determinar , então reorganizamos a equação:
ó

Passo 9

Primeiro, calculamos a energia do fóton espalhado para cada ângulo usando a relação de Compton:
lambda - lambda0 = hmec (1 - cos theta)
E a energia do fóton espalhado é:
E = h clambda = h clambda0 + hmec (1 - cos theta)

Passo 10

Para simplificar, podemos expressar a energia do fóton espalhado em termos de E = E01 + E0mec^2 (1 - cos theta) :

Passo 11

Substituindo e na equação acima, obtemos e respectivamente.

Passo 12

Sabemos que phi0 = E60 - K1 = E180 - K2 e já estão relacionados às energias espalhadas:
Assim, temos duas equações para .

Passo 13

Isolando phi0 = E60 - K1 em ambas as equações:
phi0 = E180 - K2
E60 - K1 = E180 - K2
Igualando as duas expressões:

Passo 14

Resolvendo para encontrar uma relação entre E60 - E180 = K1 - K2 e :

Passo 15

Substituindo as expressões de E01 + E0mec^2 (1 - cos 60^circ) - E01 + E0mec^2 (1 - cos 180^circ) = K1 - K2 e em termos de :

Passo 16

Simplificando os termos trigonométricos:
cos 60^circ = 0.5 e cos 180^circ = -1
Substituindo:
E01 + E0mec^2 (1 - 0.5) - E01 + E0mec^2 (1 - (-1)) = K1 - K2

Passo 17

Calculando os denominadores:
1 + E0mec^2 times 0.5 = 1 + E02 mec^2
1 + E0mec^2 times 2 = 1 + 2 E0mec^2

Passo 18

Substituindo de volta na equação:
E01 + E02 mec^2 - E01 + 2 E0mec^2 = K1 - K2

Passo 19

Resolvendo essa equação para :
Multiplicamos ambas as equações por e para eliminar os denominadores, e então isolamos . Após essa resolução, encontramos o valor de .

Passo 20

Finalmente, substituímos phi0 = E60 - K1 em qualquer uma das equações para encontrar :

Resposta

A função trabalho do metal é .

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