Um fóton de energia inicial
após ser espalhado por efeito Compton a
incide numa placa metálica e ejeta um elétron com energia cinética
. Quando o espalhamento é a
o fóton espalhado ejeta um elétron com energia cinética
.
(a) Explique em qual dos dois casos o elétron ejetado tem maior energia cinética.
(b) Calcule a função trabalho,
, do metal.
(a) Explique em qual dos dois casos o elétron ejetado tem maior energia cinética.
(b) Calcule a função trabalho,
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fóton com energia inicial
que sofre espalhamento Compton em dois ângulos diferentes:
e
. Após cada espalhamento, o fóton espalhado atinge uma placa metálica e ejeta um elétron com energia cinética
e
respectivamente. O conteúdo da matéria envolvido aqui é o efeito Compton, que estuda a mudança na energia e no comprimento de onda de fótons quando eles interagem com elétrons. Para resolver a questão, vamos precisar entender a relação entre o ângulo de espalhamento, a energia do fóton espalhado e a energia cinética do elétron ejetado.
Passo 2
Vamos começar analisando o efeito Compton. A fórmula que relaciona o comprimento de onda inicial (
) e o final (
) do fóton espalhado é dada por:
Onde:
-
é a constante de Planck, -
é a massa do elétron, -
é a velocidade da luz, -
é o ângulo de espalhamento.
Essa fórmula mostra que o comprimento de onda do fóton aumenta (energia diminui) com o aumento do ângulo
.
Passo 3
A energia do fóton está relacionada com o comprimento de onda pela relação:
Então, se o comprimento de onda aumenta, a energia do fóton diminui. Assim, quanto maior o ângulo de espalhamento
, menor será a energia do fóton espalhado.
Passo 4
A energia cinética do elétron ejetado (
) é dada pela diferença entre a energia do fóton incidente e a energia necessária para ejetar o elétron (
), que é a função trabalho do metal:
Portanto, se a energia do fóton espalhado diminui, a energia cinética do elétron também diminui, assumindo que
permanece constante.
Passo 5
No primeiro caso, o ângulo de espalhamento é
, e no segundo caso é
. Como vimos, quanto maior o ângulo, menor a energia do fóton espalhado. Portanto, para
, a energia do fóton espalhado será menor do que para
.
Passo 6
Substituindo na equação da energia cinética:
- Para
: - Para
:
Como
, então:
Passo 7
Portanto, o elétron ejetado com espalhamento a
tem maior energia cinética do que aquele ejetado a
.
Passo 8
Agora, vamos calcular a função trabalho
do metal. Sabemos que:
Precisamos determinar
, então reorganizamos a equação:
Passo 9
Primeiro, calculamos a energia do fóton espalhado para cada ângulo usando a relação de Compton:
E a energia do fóton espalhado é:
Passo 10
Para simplificar, podemos expressar a energia do fóton espalhado em termos de
:
Passo 11
Substituindo
e
na equação acima, obtemos
e
respectivamente.
Passo 12
Sabemos que
e
já estão relacionados às energias espalhadas:
Assim, temos duas equações para
.
Passo 13
Isolando
em ambas as equações:
Igualando as duas expressões:
Passo 14
Resolvendo para encontrar uma relação entre
e
:
Passo 15
Substituindo as expressões de
e
em termos de
:
Passo 16
Simplificando os termos trigonométricos:
Substituindo:
Passo 17
Calculando os denominadores:
Passo 18
Substituindo de volta na equação:
Passo 19
Resolvendo essa equação para
:
Multiplicamos ambas as equações por
e
para eliminar os denominadores, e então isolamos
. Após essa resolução, encontramos o valor de
.
Passo 20
Finalmente, substituímos
em qualquer uma das equações para encontrar
:
Resposta
A função trabalho do metal é
.
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, com
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