Um fóton de energia inicial após ser espalhado por efeito Compton a incide numa placa metálica e ejeta um elétron com energia cinética . Quando o espalhamento é a o fóton espalhado ejeta um elétron com energia cinética .
(a) Explique em qual dos dois casos o elétron ejetado tem maior energia cinética.
(b) Calcule a função trabalho, , do metal.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fóton com energia inicial que sofre espalhamento Compton em dois ângulos diferentes: e . Após cada espalhamento, o fóton espalhado atinge uma placa metálica e ejeta um elétron com energia cinética e respectivamente. O conteúdo da matéria envolvido aqui é o efeito Compton, que estuda a mudança na energia e no comprimento de onda de fótons quando eles interagem com elétrons. Para resolver a questão, vamos precisar entender a relação entre o ângulo de espalhamento, a energia do fóton espalhado e a energia cinética do elétron ejetado.

Passo 2

Vamos começar analisando o efeito Compton. A fórmula que relaciona o comprimento de onda inicial ( ) e o final ( ) do fóton espalhado é dada por:
Onde:
  • é a constante de Planck,
  • é a massa do elétron,
  • é a velocidade da luz,
  • é o ângulo de espalhamento.
Essa fórmula mostra que o comprimento de onda do fóton aumenta (energia diminui) com o aumento do ângulo .

Passo 3

A energia do fóton está relacionada com o comprimento de onda pela relação:
Então, se o comprimento de onda aumenta, a energia do fóton diminui. Assim, quanto maior o ângulo de espalhamento , menor será a energia do fóton espalhado.

Passo 4

A energia cinética do elétron ejetado ( ) é dada pela diferença entre a energia do fóton incidente e a energia necessária para ejetar o elétron ( ), que é a função trabalho do metal:
ó
Portanto, se a energia do fóton espalhado diminui, a energia cinética do elétron também diminui, assumindo que permanece constante.

Passo 5

No primeiro caso, o ângulo de espalhamento é , e no segundo caso é . Como vimos, quanto maior o ângulo, menor a energia do fóton espalhado. Portanto, para , a energia do fóton espalhado será menor do que para .

Passo 6

Substituindo na equação da energia cinética:
  • Para :
  • Para :
Como , então:

Passo 7

Portanto, o elétron ejetado com espalhamento a tem maior energia cinética do que aquele ejetado a .

Passo 8

Agora, vamos calcular a função trabalho do metal. Sabemos que:
ó
Precisamos determinar , então reorganizamos a equação:
ó

Passo 9

Primeiro, calculamos a energia do fóton espalhado para cada ângulo usando a relação de Compton:
E a energia do fóton espalhado é:

Passo 10

Para simplificar, podemos expressar a energia do fóton espalhado em termos de :

Passo 11

Substituindo e na equação acima, obtemos e respectivamente.

Passo 12

Sabemos que e já estão relacionados às energias espalhadas:
Assim, temos duas equações para .

Passo 13

Isolando em ambas as equações:
Igualando as duas expressões:

Passo 14

Resolvendo para encontrar uma relação entre e :

Passo 15

Substituindo as expressões de e em termos de :

Passo 16

Simplificando os termos trigonométricos:
Substituindo:

Passo 17

Calculando os denominadores:

Passo 18

Substituindo de volta na equação:

Passo 19

Resolvendo essa equação para :
Multiplicamos ambas as equações por e para eliminar os denominadores, e então isolamos . Após essa resolução, encontramos o valor de .

Passo 20

Finalmente, substituímos em qualquer uma das equações para encontrar :

Resposta

A função trabalho do metal é .

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