A fração de vacância por pontos de rede ocupada no sólido de alumínio a 660^circ C é de 10^-3. Qual é a energia de ativação requerida para criar vacâncias no alumínio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a fração de vacâncias no alumínio sólido a 660^circ C é de 10^-3. Nosso objetivo é descobrir qual é a energia de ativação necessária para criar essas vacâncias. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre defeitos em sólidos, especificamente as vacâncias, e usar uma fórmula que relaciona a fração de vacâncias com a energia de ativação, a temperatura e a constante de Boltzmann.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma vacância. Uma vacância é basicamente um “buraco” na estrutura cristalina do metal, onde um átomo deveria estar, mas não está. A concentração de vacâncias aumenta com a temperatura porque mais átomos têm energia suficiente para se deslocarem e criarem essas vacâncias.

Passo 3

A relação que liga a fração de vacâncias ( nv/N) com a energia de ativação ( Qf) é dada por:
nvN = exp(-QfkT)
Onde:
  • nv é o número de vacâncias,
  • N é o número total de sítios de rede,
  • Qf é a energia de ativação para formar uma vacância,
  • k é a constante de Boltzmann ( 8.617 times 10^-5 , eV/K),
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para resolver Qf:
ln(nvN) = -QfkT
Multiplicando ambos os lados por -kT:
Qf = -kT ln(nvN)

Passo 5

Agora, vamos inserir os valores fornecidos:
  • Fração de vacâncias: nv/N = 10^-3
  • Temperatura: 660^circ C = 660 + 273 = 933 , K
Substituindo na equação:
Qf = - (8.617 times 10^-5 , eV/K) times 933 , K times ln(10^-3)

Passo 6

Calculando o valor de ln(10^-3):
ln(10^-3) = -3 ln(10) approx -3 times 2.303 approx -6.909
Agora, substituindo de volta:
Qf = - (8.617 times 10^-5) times 933 times (-6.909)

Passo 7

Vamos multiplicar os números:
8.617 times 10^-5 times 933 approx 0.0803 , eV
0.0803 times 6.909 approx 0.554 , eV

Resposta

A energia de ativação requerida para criar vacâncias no alumínio é aproximadamente 0,55 eV.

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