O freio de um caminhão de massa m deixa de funcionar quando ele está descendo uma estrada montanhosa coberta de gelo inclinada por um ângulo alpha (Figura P7.58). Inicialmente, o caminhão desce a montanha com velocidade v0. Depois de percorrer com atrito desprezível uma distância L até a base da montanha, o motorista vira o volante e faz o caminhão subir uma rampa de emergência para caminhões inclinada para cima com um ângulo beta constante. A rampa para caminhões é pavimentada com areia fofa, que possui um atrito de rolamento igual a mur. Qual é a distância percorrida pelo caminhão ao subir a rampa até parar? Use o método da energia.
Figura P7.58

Passo 1

Beleza, vamos resumir o negócio. Temos um caminhão de massa m que está descendo uma montanha com um ângulo de inclinação alpha e sua frenagem falha. Ele desce com uma velocidade inicial v0 e percorre uma distância L até a base da montanha, onde o motorista decide subir uma rampa de emergência inclinada por um ângulo beta. Essa rampa tem atrito de rolamento mur. Queremos descobrir qual a distância que o caminhão vai percorrer subindo essa rampa até parar, usando o método da energia. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e trabalho das forças de atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética do caminhão na base da montanha. A energia cinética ( Ecin) é dada por:
Ecin = 12 m v0^2
Essa é a energia que o caminhão tem devido ao seu movimento inicial.

Passo 3

Agora, quando o caminhão começa a subir a rampa, ele está convertendo essa energia cinética em energia potencial gravitacional ( Epot) e perdendo energia devido ao atrito. A energia potencial é dada por:
Epot = m g h
onde h é a altura alcançada na rampa.

Passo 4

Vamos relacionar a altura h com a distância percorrida d na rampa usando o ângulo beta. Temos:
h = d sin beta
Então, a energia potencial fica:
Epot = m g d sin beta

Passo 5

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força de atrito ( Watrito). A força de atrito de rolamento é:
Fatrito = mur m g cos beta
O trabalho dessa força ao longo da distância d é:
Watrito = Fatrito times d = mur m g cos beta times d

Passo 6

Aplicando o princípio de conservação da energia, a energia cinética inicial vai ser igual à soma da energia potencial e do trabalho do atrito quando o caminhão para:
12 m v0^2 = m g d sin beta + mur m g cos beta times d

Passo 7

Vamos simplificar a equação. Podemos dividir todos os termos por m:
12 v0^2 = g d sin beta + mur g cos beta times d

Passo 8

Agora, fatoramos d do lado direito:
12 v0^2 = d ( g sin beta + mur g cos beta )

Passo 9

Isolamos d para encontrar a distância percorrida até parar:
d = 12 v0^2g (sin beta + mur cos beta)

Passo 10

Simplificando a fração:
d = v0^22 g (sin beta + mur cos beta)

Resposta

A distância percorrida pelo caminhão ao subir a rampa até parar é:
d = v0^22 g (sin beta + mur cos beta)

Exercícios relacionados