O freio de um caminhão de massa deixa de funcionar quando ele está descendo uma estrada montanhosa coberta de gelo inclinada por um ângulo (Figura P7.58). Inicialmente, o caminhão desce a montanha com velocidade . Depois de percorrer com atrito desprezível uma distância até a base da montanha, o motorista vira o volante e faz o caminhão subir uma rampa de emergência para caminhões inclinada para cima com um ângulo constante. A rampa para caminhões é pavimentada com areia fofa, que possui um atrito de rolamento igual a . Qual é a distância percorrida pelo caminhão ao subir a rampa até parar? Use o método da energia.
Figura P7.58

Passo 1

Beleza, vamos resumir o negócio. Temos um caminhão de massa que está descendo uma montanha com um ângulo de inclinação e sua frenagem falha. Ele desce com uma velocidade inicial e percorre uma distância até a base da montanha, onde o motorista decide subir uma rampa de emergência inclinada por um ângulo . Essa rampa tem atrito de rolamento . Queremos descobrir qual a distância que o caminhão vai percorrer subindo essa rampa até parar, usando o método da energia. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e trabalho das forças de atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética do caminhão na base da montanha. A energia cinética ( ) é dada por:
Essa é a energia que o caminhão tem devido ao seu movimento inicial.

Passo 3

Agora, quando o caminhão começa a subir a rampa, ele está convertendo essa energia cinética em energia potencial gravitacional ( ) e perdendo energia devido ao atrito. A energia potencial é dada por:
onde é a altura alcançada na rampa.

Passo 4

Vamos relacionar a altura com a distância percorrida na rampa usando o ângulo . Temos:
Então, a energia potencial fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força de atrito ( ). A força de atrito de rolamento é:
O trabalho dessa força ao longo da distância é:

Passo 6

Aplicando o princípio de conservação da energia, a energia cinética inicial vai ser igual à soma da energia potencial e do trabalho do atrito quando o caminhão para:

Passo 7

Vamos simplificar a equação. Podemos dividir todos os termos por :

Passo 8

Agora, fatoramos do lado direito:

Passo 9

Isolamos para encontrar a distância percorrida até parar:

Passo 10

Simplificando a fração:

Resposta

A distância percorrida pelo caminhão ao subir a rampa até parar é:

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