O freio de um caminhão de massa
deixa de funcionar quando ele está descendo uma estrada montanhosa coberta de gelo inclinada por um ângulo
(Figura P7.58). Inicialmente, o caminhão desce a montanha com velocidade
. Depois de percorrer com atrito desprezível uma distância
até a base da montanha, o motorista vira o volante e faz o caminhão subir uma rampa de emergência para caminhões inclinada para cima com um ângulo
constante. A rampa para caminhões é pavimentada com areia fofa, que possui um atrito de rolamento igual a
. Qual é a distância percorrida pelo caminhão ao subir a rampa até parar? Use o método da energia.
Figura P7.58
Figura P7.58
Passo 1
Beleza, vamos resumir o negócio. Temos um caminhão de massa
que está descendo uma montanha com um ângulo de inclinação
e sua frenagem falha. Ele desce com uma velocidade inicial
e percorre uma distância
até a base da montanha, onde o motorista decide subir uma rampa de emergência inclinada por um ângulo
. Essa rampa tem atrito de rolamento
. Queremos descobrir qual a distância que o caminhão vai percorrer subindo essa rampa até parar, usando o método da energia. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e trabalho das forças de atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia cinética do caminhão na base da montanha. A energia cinética (
) é dada por:
Essa é a energia que o caminhão tem devido ao seu movimento inicial.
Passo 3
Agora, quando o caminhão começa a subir a rampa, ele está convertendo essa energia cinética em energia potencial gravitacional (
) e perdendo energia devido ao atrito. A energia potencial é dada por:
onde
é a altura alcançada na rampa.
Passo 4
Vamos relacionar a altura
com a distância percorrida
na rampa usando o ângulo
. Temos:
Então, a energia potencial fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força de atrito (
). A força de atrito de rolamento é:
O trabalho dessa força ao longo da distância
é:
Passo 6
Aplicando o princípio de conservação da energia, a energia cinética inicial vai ser igual à soma da energia potencial e do trabalho do atrito quando o caminhão para:
Passo 7
Vamos simplificar a equação. Podemos dividir todos os termos por
:
Passo 8
Agora, fatoramos
do lado direito:
Passo 9
Isolamos
para encontrar a distância percorrida até parar:
Passo 10
Simplificando a fração:
Resposta
A distância percorrida pelo caminhão ao subir a rampa até parar é: