Um sistema massa-mola horizontal é formado por um corpo de massa
e uma mola de constante
, e descreve um MHS com amplitude A. No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio, um pedaço de massa de vidraceiro de massa
cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura e gruda no bloco. (a) Calcule a nova amplitude e o novo período. (b) Repita a parte (a) supondo que a massa caia sobre o bloco no momento em que ele está na extremidade de sua trajetória.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema massa-mola que está fazendo movimento harmônico simples (MHS) com uma amplitude A. A massa do bloco é M e a constante da mola é K. No meio desse movimento, quando o bloco está passando pela posição de equilíbrio, uma massa extra m cai e se junta ao bloco. Precisamos descobrir como isso afeta a amplitude e o período do sistema. Pra isso, vamos precisar usar as fórmulas do MHS e entender como a massa total e a energia do sistema mudam.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a nova massa do sistema após a massa m se juntar ao bloco. A massa total agora vai ser M + m.
Passo 3
O período de um MHS é dado por:
Com a nova massa, o novo período T’ será:
Passo 4
Agora, vamos pensar na amplitude. Quando a massa m cai no bloco na posição de equilíbrio, a velocidade do sistema naquele instante é máxima. A energia mecânica do sistema é conservada, então podemos igualar a energia antes e depois da massa cair.
A energia cinética máxima do sistema antes da massagem é:
Depois que a massa m se junta, a energia cinética será:
Como a energia é conservada:
Isso implica:
Passo 5
A amplitude está relacionada com a velocidade máxima pela relação:
Onde
é a frequência angular. Para o novo sistema:
Substituindo
que encontramos:
Então, a nova amplitude A’ é igual à original A.
Resposta
(a) Após a massa m se juntar ao bloco, a nova amplitude continua sendo A e o novo período é
.