A fronteira da região é o paralelogramo de vértices e . Use a mudança de coordenadas do Exemplo 4.26 e calcule a integral dupla sobre da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre uma região que é um paralelogramo com vértices em , , e . A função que vamos integrar é . Para facilitar, vamos usar uma mudança de coordenadas que transforma esse paralelogramo em um retângulo, seguindo o que foi feito no Exemplo 4.26. Isso vai nos ajudar a simplificar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as novas coordenadas. Vamos escolher:
Essa escolha é estratégica porque a função fica bem mais simples nessas novas coordenadas.
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo o sistema de equações:
Com isso, conseguimos reescrever tudo em e , facilitando nossa vida na hora de integrar.
Passo 4
É hora de calcular o determinante jacobiano da transformação. O Jacobiano nos ajuda a ajustar a área quando fazemos a mudança de coordenadas. Calculando as derivadas parciais:
[
\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} =