A fronteira da região D é o paralelogramo de vértices (0,1), (1,2), (2,1) e 1,0. Use a mudança de coordenadas do Exemplo 4.26 e calcule a integral dupla sobre D da função
f(x, y) = (x - y)^2 cos^2(x + y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre uma região que é um paralelogramo com vértices em , , e . A função que vamos integrar é . Para facilitar, vamos usar uma mudança de coordenadas que transforma esse paralelogramo em um retângulo, seguindo o que foi feito no Exemplo 4.26. Isso vai nos ajudar a simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as novas coordenadas. Vamos escolher:
Essa escolha é estratégica porque a função fica bem mais simples nessas novas coordenadas.

Passo 3

Agora, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo o sistema de equações:
Com isso, conseguimos reescrever tudo em e , facilitando nossa vida na hora de integrar.

Passo 4

É hora de calcular o determinante jacobiano da transformação. O Jacobiano nos ajuda a ajustar a área quando fazemos a mudança de coordenadas. Calculando as derivadas parciais:
[
\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} =


= \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} \times -\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
]
Então, .

Passo 5

Vamos transformar os vértices do paralelogramo nas novas coordenadas :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Isso mostra que na nova coordenada varia de a e varia de a , formando um retângulo.

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral dupla na nova coordenada:
Aqui, substituímos por e por , além de incluir o Jacobiano .

Passo 7

Vamos simplificar a integral:
Note que a parte interna da integral, , pode ser calculada separadamente.

Passo 8

Calculando a integral de :
Então, avaliando de a :

Passo 9

Agora, voltamos à integral principal:
Calculando :
Então:

Resposta

Assim, a integral dupla é igual a:

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