Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
integral duplax^2+y^2 <= 1(x^2+y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está delimitada pela equação . Isso significa que estamos trabalhando dentro de um círculo de raio 1. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo em coordenadas polares, que é super útil para integrar em regiões circulares. Para isso, vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares e ajustar o diferencial de área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares:
x = r cos theta e y = r sin theta
O diferencial de área dx , dy = r , dr , dtheta em coordenadas polares vira:
Isso acontece porque quando mudamos de sistema de coordenadas, precisamos ajustar o “tamanho” do elemento de área, e no caso polar, esse ajuste é feito multiplicando por .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando, x^2 + y = (r cos theta)^2 + r sin theta = r^2 cos^2 theta + r sin theta , em termos de integral duplax^2+y^2 <= 1 (x^2 + y) dx , dy = integral0^2pi integral0^1 (r^2 cos^2 theta + r sin theta) r , dr , dtheta e integral0^2pi integral0^1 (r^3 cos^2 theta + r^2 sin theta) dr , dtheta :
Então, nossa integral dupla fica:
Simplificando:

Passo 4

Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integral0^2pi integral0^1 r^3 cos^2 theta , dr , dtheta + integral0^2pi integral0^1 r^2 sin theta , dr , dtheta
Primeiro, vamos calcular a integral em para cada termo.

Passo 5

Calculando a primeira parte:
integral0^1 r^3 , dr = [r^44]0^1 = 14
E a integral em integral0^2pi cos^2 theta , dtheta :
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Sabemos que:
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = integral0^2pi 1 + cos 2theta2 , dtheta = 12 [2pi] = pi
Então:

Passo 6

Agora, a segunda parte:
integral0^1 r^2 , dr = [r^33]0^1 = 13
E a integral em integral0^2pi sin theta , dtheta = 0 :
Isso porque a função seno é simétrica e a integral completa sobre a cancela.

Passo 7

Juntando tudo, temos:
(14) times pi + (13) times 0 = pi4

Resposta

A integral dupla é igual a .

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