Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está delimitada pela equação
. Isso significa que estamos trabalhando dentro de um círculo de raio 1. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo em coordenadas polares, que é super útil para integrar em regiões circulares. Para isso, vamos precisar converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
e ajustar o diferencial de área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares:
O diferencial de área
em coordenadas polares vira:
Isso acontece porque quando mudamos de sistema de coordenadas, precisamos ajustar o “tamanho” do elemento de área, e no caso polar, esse ajuste é feito multiplicando por
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando,
, em termos de
e
:
Então, nossa integral dupla fica:
Simplificando:
Passo 4
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Primeiro, vamos calcular a integral em
para cada termo.
Passo 5
Calculando a primeira parte:
E a integral em
:
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Agora, a segunda parte:
E a integral em
:
Isso porque a função seno é simétrica e a integral completa sobre
a
cancela.
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Resposta
A integral dupla é igual a
.