Usando as equações de Maxwell no vácuo, deduzir uma equação diferencial para os campos elétrico e magnético, cujas soluções descrevem uma onda eletromagnética e descobrir a sua velocidade de propagação no vácuo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar as Equações de Maxwell no vácuo para deduzir uma equação diferencial que descreva as ondas eletromagnéticas e descobrir a velocidade com que elas se propagam no vácuo. Basicamente, vamos trabalhar com os campos elétrico e magnético e ver como eles se comportam quando não há matéria por onde a onda passa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as Equações de Maxwell no vácuo. Elas descrevem como os campos elétrico ( ) e magnético ( ) interagem e se propagam. No vácuo, sem cargas ou correntes elétricas, as Equações de Maxwell ficam assim:
  1. Lei de Gauss para o Campo Elétrico:
  2. Lei de Gauss para o Campo Magnético:
  3. Lei de Faraday da Indução:
  4. Lei de Ampère-Maxwell:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma equação diferencial para, por exemplo, o campo elétrico . Para isso, vamos aplicar o operador rotacional ( ) na Lei de Faraday:

Passo 4

Usando a identidade vetorial e sabendo que , a equação simplifica para:

Passo 5

Agora, substituímos pela Lei de Ampère-Maxwell:
Simplificando os sinais negativos:

Passo 6

Essa é a equação diferencial que descreve como o campo elétrico se propaga no vácuo. Ela tem a forma padrão da equação de onda:
Comparando com a nossa equação, vemos que:

Passo 7

Resolvendo para a velocidade :

Resposta

A velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo é

Exercícios relacionados

A Lei dos Gases Ideais
Um gás é mantido à pressão constante. Se a sua temperatura for alterada de 50 para , de que fator muda o volume?
Descreva matematicamente esta onda na forma auxiliar complexa nas seguintes condições: Onda circularmente polarizada para a esquerda com amplitude EO
Uma luz de um laser ilumina um anteparo com duas fendas. A distância entre as fendas é de e as franjas de interferência são observadas em um anteparo a . A franja brilhante de ordem está a da linha central.
A) Qual é o comprimento de onda do laser?
B) Qual é a distância entre as franjas brilhantes adjacentes?
A função , com em metros e em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Qual é a velocidade transversal de um ponto na corda no instante em que este ponto possui o deslocamento ?