Usando as equações de Maxwell no vácuo, deduzir uma equação diferencial para os campos elétrico e magnético, cujas soluções descrevem uma onda eletromagnética e descobrir a sua velocidade de propagação no vácuo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar as Equações de Maxwell no vácuo para deduzir uma equação diferencial que descreva as ondas eletromagnéticas e descobrir a velocidade com que elas se propagam no vácuo. Basicamente, vamos trabalhar com os campos elétrico e magnético e ver como eles se comportam quando não há matéria por onde a onda passa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as Equações de Maxwell no vácuo. Elas descrevem como os campos elétrico (
) e magnético (
) interagem e se propagam. No vácuo, sem cargas ou correntes elétricas, as Equações de Maxwell ficam assim:
- Lei de Gauss para o Campo Elétrico:
- Lei de Gauss para o Campo Magnético:
- Lei de Faraday da Indução:
- Lei de Ampère-Maxwell:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar uma equação diferencial para, por exemplo, o campo elétrico
. Para isso, vamos aplicar o operador rotacional (
) na Lei de Faraday:
Passo 4
Usando a identidade vetorial
e sabendo que
, a equação simplifica para:
Passo 5
Agora, substituímos
pela Lei de Ampère-Maxwell:
Simplificando os sinais negativos:
Passo 6
Essa é a equação diferencial que descreve como o campo elétrico se propaga no vácuo. Ela tem a forma padrão da equação de onda:
Comparando com a nossa equação, vemos que:
Passo 7
Resolvendo para a velocidade
:
Resposta
A velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo é