Usando as equações de Maxwell no vácuo, deduzir uma equação diferencial para os campos elétrico e magnético, cujas soluções descrevem uma onda eletromagnética e descobrir a sua velocidade de propagação no vácuo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar as Equações de Maxwell no vácuo para deduzir uma equação diferencial que descreva as ondas eletromagnéticas e descobrir a velocidade com que elas se propagam no vácuo. Basicamente, vamos trabalhar com os campos elétrico e magnético e ver como eles se comportam quando não há matéria por onde a onda passa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as Equações de Maxwell no vácuo. Elas descrevem como os campos elétrico ( nabla cdot E = 0 ) e magnético ( nabla cdot B = 0 ) interagem e se propagam. No vácuo, sem cargas ou correntes elétricas, as Equações de Maxwell ficam assim:
  1. Lei de Gauss para o Campo Elétrico: nabla times E = -partial Bpartial t
  2. Lei de Gauss para o Campo Magnético: nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t
  3. Lei de Faraday da Indução:
  4. Lei de Ampère-Maxwell:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma equação diferencial para, por exemplo, o campo elétrico nabla times (nabla times E) = nabla times ( -partial Bpartial t ) . Para isso, vamos aplicar o operador rotacional ( ) na Lei de Faraday:

Passo 4

Usando a identidade vetorial -nabla^2 E = -partialpartial t (nabla times B) e sabendo que , a equação simplifica para:

Passo 5

Agora, substituímos -nabla^2 E = -mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2 pela Lei de Ampère-Maxwell:
nabla^2 E = mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2
Simplificando os sinais negativos:

Passo 6

Essa é a equação diferencial que descreve como o campo elétrico se propaga no vácuo. Ela tem a forma padrão da equação de onda:
nabla^2 E = 1v^2 partial^2 Epartial t^2
Comparando com a nossa equação, vemos que:
1v^2 = mu0 epsilon0

Passo 7

Resolvendo para a velocidade v = 1raizmu0 epsilon0 :

Resposta

A velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo é
v = 1raizmu0 epsilon0

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