O gráfico de uma função
é dado. Construa os gráficos das funções a seguir e determine seus domínios e imagens: ©
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para construir o gráfico da função
a partir do gráfico da função original
. Além disso, precisamos determinar o domínio e a imagem dessa nova função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações de funções, especificamente a compressão horizontal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar a variável
por um número dentro da função. Quando temos
, isso indica uma compressão horizontal do gráfico da função
pelo fator de
. Basicamente, cada ponto do gráfico original se aproxima do eixo
três vezes mais do que antes.
Passo 3
Para construir o gráfico de
, siga estes passos:
- Identifique pontos chave no gráfico original de
(como interceptações, máximos, mínimos, etc.). - Divida as coordenadas
desses pontos por . Por exemplo, se um ponto no gráfico de é , no gráfico de será . - Plote os novos pontos no sistema de coordenadas.
- Desenhe a nova curva ligando esses pontos, mantendo a mesma forma da função original, apenas comprimida horizontalmente.
Passo 4
Vamos falar sobre o domínio e a imagem. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida, e a imagem é o conjunto de todos os valores de
que a função pode assumir.
-
Domínio de
: Se o domínio original de for , então o domínio de será . Ou seja, cada valor de no domínio original será dividido por . -
Imagem de
: A imagem não muda, já que a transformação é horizontal. Portanto, a imagem de é a mesma que a imagem de .
Resposta
Ao construir o gráfico de
, aplicamos uma compressão horizontal pelo fator de
no gráfico original de
. O domínio dessa nova função é o domínio original dividido por
, e a imagem permanece a mesma que a função
.
Exercícios relacionados
Resolva em
as equações e inequações a seguir: (h)
.
A função
é chamada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir George Airy (1801-1892).
(a) Encontre o domínio da função de Airy.
(b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela.
(a) Encontre o domínio da função de Airy.
(b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela.
Resolva em
as equações e inequações a seguir: (a)
.
O gráfico de uma função
é dado. Construa os gráficos das funções a seguir e determine seus domínios e imagens: (e)
.