O gráfico de uma função é dado. Construa os gráficos das funções a seguir e determine seus domínios e imagens: © .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para construir o gráfico da função a partir do gráfico da função original . Além disso, precisamos determinar o domínio e a imagem dessa nova função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações de funções, especificamente a compressão horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar a variável por um número dentro da função. Quando temos , isso indica uma compressão horizontal do gráfico da função pelo fator de . Basicamente, cada ponto do gráfico original se aproxima do eixo três vezes mais do que antes.

Passo 3

Para construir o gráfico de , siga estes passos:
  1. Identifique pontos chave no gráfico original de (como interceptações, máximos, mínimos, etc.).
  2. Divida as coordenadas desses pontos por . Por exemplo, se um ponto no gráfico de é , no gráfico de será .
  3. Plote os novos pontos no sistema de coordenadas.
  4. Desenhe a nova curva ligando esses pontos, mantendo a mesma forma da função original, apenas comprimida horizontalmente.

Passo 4

Vamos falar sobre o domínio e a imagem. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida, e a imagem é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir.
  • Domínio de : Se o domínio original de for , então o domínio de será . Ou seja, cada valor de no domínio original será dividido por .
  • Imagem de : A imagem não muda, já que a transformação é horizontal. Portanto, a imagem de é a mesma que a imagem de .

Resposta

Ao construir o gráfico de , aplicamos uma compressão horizontal pelo fator de no gráfico original de . O domínio dessa nova função é o domínio original dividido por , e a imagem permanece a mesma que a função .

Exercícios relacionados

Resolva em as equações e inequações a seguir: (h) .
A função é chamada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir George Airy (1801-1892).
(a) Encontre o domínio da função de Airy.
(b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela.
Resolva em as equações e inequações a seguir: (a) .
O gráfico de uma função é dado. Construa os gráficos das funções a seguir e determine seus domínios e imagens: (e) .