A função f(x)=x^3+4 x^2-10 tem uma única raiz no intervalo [1,2]. Tente obter esta raiz usando o método do Ponto Fixo para cada uma das formas abaixo usando x0=1,5, e veja quais delas satisfazem o teorema da convergência.
a) x=g1(x)=x-x^3-4 x^2+10
b) x=g2(x)=(10x+4)^1 / 2
c) x=g3(x)=0.5 raiz10-x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e sabemos que ela tem uma única raiz no intervalo [1, 2]. A ideia aqui é encontrar essa raiz usando o Método do Ponto Fixo. Esse método é uma técnica numérica para encontrar soluções de equações através de iterações. Para isso, vamos usar as três formas diferentes de que foram dadas e começar com uma chute inicial . Também vamos verificar quais dessas formas satisfazem o Teorema da Convergência, o que garante que o método vai realmente chegar na raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Método do Ponto Fixo. A ideia é reescrever a equação na forma . A partir daí, começamos com um valor inicial e vamos calculando os próximos valores até que a sequência convirja para a raiz.
Além disso, para garantir que o método vai funcionar, o Teorema da Convergência diz que se for contínua no intervalo e a derivada nesse intervalo, então a sequência vai convergir para a raiz.
Vamos analisar cada uma das formas de fornecidas:

Passo 3

a) g1'(x) = ddx( x - x^3 - 4x^2 + 10 ) = 1 - 3x^2 - 8x

Vamos calcular a derivada de g1'(1) = 1 - 3(1)^2 - 8(1) = 1 - 3 - 8 = -10 para verificar a condição de convergência:
g1'(2) = 1 - 3(2)^2 - 8(2) = 1 - 12 - 16 = -27
Agora, vamos avaliar no intervalo [1, 2]:
  • Para :
  • Para :
Vemos que é maior que 1 no intervalo [1, 2], o que não satisfaz o teorema da convergência. Portanto, o método pode não funcionar com essa forma de .

Passo 4

b) g2'(x) = ddx ( 10x + 4 )^1/2 = 12 ( 10x + 4 )^-1/2 ( -10(x + 4)^2 ) = -5(x + 4)^3/2

Primeiro, vamos calcular a derivada de |g2'(1)| = | -5(1 + 4)^3/2 | = 55^3/2 = 511.18 approx 0.447 :
|g2'(2)| = | -5(2 + 4)^3/2 | = 56^3/2 = 514.70 approx 0.34
Agora, vamos avaliar no intervalo [1, 2]:
  • Para :
  • Para :
Como no intervalo [1, 2], essa forma de satisfaz o teorema da convergência. Ou seja, o método vai funcionar e a sequência vai convergir para a raiz.

Passo 5

c) g3'(x) = 0.5 cdot 12 cdot (10 - x^3)^-1/2 cdot (-3x^2) = -3x^24 raiz10 - x^3

Vamos calcular a derivada de |g3'(1)| = | -3(1)^24 raiz10 - 1 | = 34 raiz9 = 312 = 0.25 :
|g3'(2)| = | -3(2)^24 raiz10 - 8 | = 124 raiz2 = 125.66 approx 2.12
Agora, vamos avaliar no intervalo [1, 2]:
  • Para :
  • Para :
Aqui, vemos que para , , que é maior que 1. Portanto, essa forma de não satisfaz o teorema da convergência no intervalo [1, 2].

Resposta

Somente a forma satisfaz o teorema da convergência no intervalo [1, 2]. Portanto, o Método do Ponto Fixo utilizando com irá convergir para a raiz da função no intervalo considerado.

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