A função tem uma única raiz no intervalo [1,2]. Tente obter esta raiz usando o método do Ponto Fixo para cada uma das formas abaixo usando , e veja quais delas satisfazem o teorema da convergência.
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e sabemos que ela tem uma única raiz no intervalo [1, 2]. A ideia aqui é encontrar essa raiz usando o Método do Ponto Fixo. Esse método é uma técnica numérica para encontrar soluções de equações através de iterações. Para isso, vamos usar as três formas diferentes de que foram dadas e começar com uma chute inicial . Também vamos verificar quais dessas formas satisfazem o Teorema da Convergência, o que garante que o método vai realmente chegar na raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Método do Ponto Fixo. A ideia é reescrever a equação na forma . A partir daí, começamos com um valor inicial e vamos calculando os próximos valores até que a sequência convirja para a raiz.
Além disso, para garantir que o método vai funcionar, o Teorema da Convergência diz que se for contínua no intervalo e a derivada nesse intervalo, então a sequência vai convergir para a raiz.
Vamos analisar cada uma das formas de fornecidas:
Passo 3
a)
Vamos calcular a derivada de para verificar a condição de convergência:
Agora, vamos avaliar no intervalo [1, 2]:
Para :
Para :
Vemos que é maior que 1 no intervalo [1, 2], o que não satisfaz o teorema da convergência. Portanto, o método pode não funcionar com essa forma de .
Passo 4
b)
Primeiro, vamos calcular a derivada de :
Agora, vamos avaliar no intervalo [1, 2]:
Para :
Para :
Como no intervalo [1, 2], essa forma de satisfaz o teorema da convergência. Ou seja, o método vai funcionar e a sequência vai convergir para a raiz.
Passo 5
c)
Vamos calcular a derivada de :
Agora, vamos avaliar no intervalo [1, 2]:
Para :
Para :
Aqui, vemos que para , , que é maior que 1. Portanto, essa forma de não satisfaz o teorema da convergência no intervalo [1, 2].
Resposta
Somente a forma satisfaz o teorema da convergência no intervalo [1, 2]. Portanto, o Método do Ponto Fixo utilizando com irá convergir para a raiz da função no intervalo considerado.