A função tem uma única raiz no intervalo [1,2]. Tente obter esta raiz usando o método do Ponto Fixo para cada uma das formas abaixo usando , e veja quais delas satisfazem o teorema da convergência.
a)
b)
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e sabemos que ela tem uma única raiz no intervalo [1, 2]. A ideia aqui é encontrar essa raiz usando o Método do Ponto Fixo. Esse método é uma técnica numérica para encontrar soluções de equações através de iterações. Para isso, vamos usar as três formas diferentes de que foram dadas e começar com uma chute inicial . Também vamos verificar quais dessas formas satisfazem o Teorema da Convergência, o que garante que o método vai realmente chegar na raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Método do Ponto Fixo. A ideia é reescrever a equação na forma . A partir daí, começamos com um valor inicial e vamos calculando os próximos valores até que a sequência convirja para a raiz.
Além disso, para garantir que o método vai funcionar, o Teorema da Convergência diz que se for contínua no intervalo e a derivada nesse intervalo, então a sequência vai convergir para a raiz.
Vamos analisar cada uma das formas de fornecidas:

Passo 3

a)

Vamos calcular a derivada de para verificar a condição de convergência:
Agora, vamos avaliar no intervalo [1, 2]:
  • Para :
  • Para :
Vemos que é maior que 1 no intervalo [1, 2], o que não satisfaz o teorema da convergência. Portanto, o método pode não funcionar com essa forma de .

Passo 4

b)

Primeiro, vamos calcular a derivada de :
Agora, vamos avaliar no intervalo [1, 2]:
  • Para :
  • Para :
Como no intervalo [1, 2], essa forma de satisfaz o teorema da convergência. Ou seja, o método vai funcionar e a sequência vai convergir para a raiz.

Passo 5

c)

Vamos calcular a derivada de :
Agora, vamos avaliar no intervalo [1, 2]:
  • Para :
  • Para :
Aqui, vemos que para , , que é maior que 1. Portanto, essa forma de não satisfaz o teorema da convergência no intervalo [1, 2].

Resposta

Somente a forma satisfaz o teorema da convergência no intervalo [1, 2]. Portanto, o Método do Ponto Fixo utilizando com irá convergir para a raiz da função no intervalo considerado.

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A) Escreva o sistema na forma matricial.
B) Apresente a matriz L e a matriz U.
C) Quais os valores de e w que solucionam o sistema por decomposição LU?
Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que possui uma única raiz positiva.
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