Resolva as integrais abaixo: integral e^2 x cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve cálculo de integrais que combinam funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica utilizada para integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto da derivada:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão u = cos(x) e dv = e^2x , dx e . No nosso caso, podemos escolher:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = -sin(x) , dx e integrar v = integral e^2x , dx = e^2x2 :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^2x cos(x) , dx = u , v - integral v , du
= cos(x) cdot e^2x2 - integral e^2x2 cdot (-sin(x)) , dx
= e^2x cos(x)2 + 12 integral e^2x sin(x) , dx

Passo 5

Agora, temos uma nova integral para resolver: u = sin(x) e dv = e^2x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral. Desta vez, escolhemos:

Passo 6

Derivando du = cos(x) , dx e integrando v = e^2x2 :

Passo 7

Aplicando a fórmula novamente:
integral e^2x sin(x) , dx = sin(x) cdot e^2x2 - integral e^2x2 cdot cos(x) , dx
= e^2x sin(x)2 - 12 integral e^2x cos(x) , dx

Passo 8

Vamos substituir essa expressão de volta na equação que tínhamos no Passo 4:
integral e^2x cos(x) , dx = e^2x cos(x)2 + 12 ( e^2x sin(x)2 - 12 integral e^2x cos(x) , dx )

Passo 9

Vamos simplificar a equação:
integral e^2x cos(x) , dx = e^2x cos(x)2 + e^2x sin(x)4 - 14 integral e^2x cos(x) , dx
Agora, vamos reunir os termos semelhantes:
integral e^2x cos(x) , dx + 14 integral e^2x cos(x) , dx = e^2x cos(x)2 + e^2x sin(x)4
54 integral e^2x cos(x) , dx = e^2x cos(x)2 + e^2x sin(x)4

Passo 10

Agora, isolamos a integral:
integral e^2x cos(x) , dx = 45 ( e^2x cos(x)2 + e^2x sin(x)4 )
= 2 e^2x cos(x)5 + e^2x sin(x)5
= e^2x5 (2 cos(x) + sin(x)) + C

Resposta

integral e^2x cos(x) , dx = e^2x5 ( 2 cos(x) + sin(x) ) + C

Exercícios relacionados