Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto 1,4.
b) f(x, y) = -x^3 + x^3 y^5 + 2 y x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função no ponto . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial para funções de várias variáveis. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e depois avaliar essas derivadas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem. As derivadas parciais são as derivadas da função em relação a uma variável, mantendo a outra constante.
Vamos calcular e :
  • Derivada parcial em relação a ( ):
  • Derivada parcial em relação a ( ):

Passo 3

Agora, vamos avaliar as derivadas parciais de primeira ordem no ponto .
  • Calculando :
  • Calculando :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Precisamos calcular , , e .
  • Segunda derivada parcial em relação a ( ):
  • Segunda derivada parcial mista ( e ):
    (Obs: pela igualdade das derivadas mistas)
  • Segunda derivada parcial em relação a ( ):

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas segundas derivadas no ponto :
  • Calculando :
  • Calculando e :
  • Calculando :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem no ponto são:
As derivadas parciais de segunda ordem no ponto são:

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