Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
no ponto
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial para funções de várias variáveis. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e depois avaliar essas derivadas no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem. As derivadas parciais são as derivadas da função em relação a uma variável, mantendo a outra constante.
Vamos calcular
e
:
- Derivada parcial em relação a
( ): - Derivada parcial em relação a
( ):
Passo 3
Agora, vamos avaliar as derivadas parciais de primeira ordem no ponto
.
-
Calculando
: -
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Precisamos calcular
,
,
e
.
-
Segunda derivada parcial em relação a
( ): -
Segunda derivada parcial mista (
e ): (Obs:pela igualdade das derivadas mistas) -
Segunda derivada parcial em relação a
( ):
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas segundas derivadas no ponto
:
-
Calculando
: -
Calculando
e : -
Calculando
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem no ponto
são:
As derivadas parciais de segunda ordem no ponto
são: