A função
é contínua em
? Se é descontínua em
, essa descontinuidade é removível?
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que você trouxe. A função dada é
. A pergunta é: essa função é contínua em
? E se não for, essa descontinuidade pode ser removida?
Vamos usar conceitos de continuidade e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos verificar esses três pontos para
em
.
-
Valor da função em
: Primeiro, precisamos definir. Notamos que não está definida quando , porque não podemos dividir por zero. Então, para ser definida em , podemos definir . Isso faz sentido porque tende a zero quando tende a zero. -
Existência do limite quando
se aproxima de 0: Vamos calcular.
Passo 4
Sabemos que
oscila entre -1 e 1 para todo
diferente de zero. Então:
Multiplicando todos os lados por
(que é sempre positivo):
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema do Squeeze (ou Teorema do Aperto), que nos diz que se uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então ela também tem esse limite.
Sabemos que:
Portanto, pelo Teorema do Squeeze:
Passo 6
- Igualdade do limite com o valor da função:
Foi definido que
e acabamos de ver que
.
Então, todos os três critérios para a continuidade são atendidos.
Resposta
A função
é contínua em
. Não há descontinuidade nesse ponto.