A função g(x) = x^2 * sen(1/x) é contínua em x = 0 ? Se é descontínua em x = 0, essa descontinuidade é removível?

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que você trouxe. A função dada é . A pergunta é: essa função é contínua em ? E se não for, essa descontinuidade pode ser removida?
Vamos usar conceitos de continuidade e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos verificar esses três pontos para em .
  1. Valor da função em :
    Primeiro, precisamos definir . Notamos que não está definida quando , porque não podemos dividir por zero. Então, para ser definida em , podemos definir . Isso faz sentido porque tende a zero quando tende a zero.
  2. Existência do limite quando se aproxima de 0:
    Vamos calcular .

Passo 4

Sabemos que oscila entre -1 e 1 para todo diferente de zero. Então:
Multiplicando todos os lados por (que é sempre positivo):

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema do Squeeze (ou Teorema do Aperto), que nos diz que se uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então ela também tem esse limite.
Sabemos que:
Portanto, pelo Teorema do Squeeze:

Passo 6

  1. Igualdade do limite com o valor da função:
Foi definido que e acabamos de ver que .
Então, todos os três critérios para a continuidade são atendidos.

Resposta

A função é contínua em . Não há descontinuidade nesse ponto.

Exercícios relacionados