A função-aceleração de uma partícula que se movimenta ao longo do eixo O X é dada por ax=-b t^2+c, onde b e c são constantes positivas. No instante inicial, t=0, a partícula está na origem e com velocidade nula.
Qual a velocidade da partícula em um instante de tempo t qualquer?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função aceleração de uma partícula que se move ao longo do eixo OX, dada por ax = -b t^2 + c, onde b e c são constantes positivas. No instante inicial ( t=0), a partícula está na origem e com velocidade nula. Nosso objetivo é encontrar a velocidade da partícula em um instante de tempo qualquer t. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração da aceleração para obter a velocidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se conhecemos a aceleração como função do tempo, podemos encontrar a velocidade integrando a função aceleração em relação ao tempo. Matematicamente, isso é representado por:
a(t) = dvdt
Portanto, para encontrar v(t), vamos integrar a(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos integrar a função aceleração dada:
v(t) = integral a(t) , dt + v0
Onde v0 é a velocidade inicial da partícula. De acordo com o enunciado, no instante t=0, a velocidade é nula, ou seja, v0 = 0.

Passo 4

Substituindo a expressão de a(t) na integral:
v(t) = integral (-b t^2 + c) , dt
Vamos separar a integral:
v(t) = -b integral t^2 , dt + c integral dt

Passo 5

Calculando as integrais:
integral t^2 , dt = t^33
integral dt = t
Portanto,
v(t) = -b ( t^33 ) + c t + v0
Como v0 = 0, simplificamos:
v(t) = -b3 t^3 + c t

Resposta

A velocidade da partícula em um instante de tempo t é dada por:
v(t) = c t - b3 t^3

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