A função-aceleração de uma partícula que se movimenta ao longo do eixo
é dada por
, onde
e
são constantes positivas. No instante inicial,
, a partícula está na origem e com velocidade nula.
Qual a velocidade da partícula em um instante de tempo t qualquer?
Qual a velocidade da partícula em um instante de tempo t qualquer?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função aceleração de uma partícula que se move ao longo do eixo
, dada por
, onde
e
são constantes positivas. No instante inicial (
), a partícula está na origem e com velocidade nula. Nosso objetivo é encontrar a velocidade da partícula em um instante de tempo qualquer
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração da aceleração para obter a velocidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se conhecemos a aceleração como função do tempo, podemos encontrar a velocidade integrando a função aceleração em relação ao tempo. Matematicamente, isso é representado por:
Portanto, para encontrar
, vamos integrar
em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar a função aceleração dada:
Onde
é a velocidade inicial da partícula. De acordo com o enunciado, no instante
, a velocidade é nula, ou seja,
.
Passo 4
Substituindo a expressão de
na integral:
Vamos separar a integral:
Passo 5
Calculando as integrais:
Portanto,
Como
, simplificamos:
Resposta
A velocidade da partícula em um instante de tempo
é dada por: