Uma função
é chamada homogênea de
-ésimo grau, se
satisfaz a equação
para todo
, onde
é um inteiro positivo e
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Mostre que, se
é homogênea de grau
, então
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função
que é chamada de homogênea de
-ésimo grau. Isso significa que, se multiplicarmos as variáveis
e
por um número
, a função inteira será multiplicada por
. O conteúdo que vamos usar aqui é o conceito de funções homogêneas e cálculo de derivadas parciais de segunda ordem. Para resolver o exercício, vamos precisar aplicar a definição de função homogênea e calcular derivadas parciais.
Passo 2
Começamos com a definição da função homogênea:
Nosso objetivo é relacionar as derivadas parciais de
com essa propriedade. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a
.
Passo 3
Primeira derivada em relação a
:
Usando a regra da cadeia, diferenciamos o lado esquerdo:
E o lado direito:
Portanto, temos:
Como queremos a relação para qualquer
, podemos definir
:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar novamente ambos os lados da equação original em relação a
, mas desta vez tomando a segunda derivada.
Segunda derivada do lado esquerdo:
E a segunda derivada do lado direito:
Igualando os dois lados novamente e definindo
:
Resposta
Portanto, mostramos que se
é uma função homogênea de grau
, então: