Uma função é chamada homogênea de -ésimo grau, se satisfaz a equação
para todo , onde é um inteiro positivo e tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Mostre que, se é homogênea de grau , então

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função que é chamada de homogênea de -ésimo grau. Isso significa que, se multiplicarmos as variáveis e por um número , a função inteira será multiplicada por . O conteúdo que vamos usar aqui é o conceito de funções homogêneas e cálculo de derivadas parciais de segunda ordem. Para resolver o exercício, vamos precisar aplicar a definição de função homogênea e calcular derivadas parciais.

Passo 2

Começamos com a definição da função homogênea:
Nosso objetivo é relacionar as derivadas parciais de com essa propriedade. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a .

Passo 3

Primeira derivada em relação a :
Usando a regra da cadeia, diferenciamos o lado esquerdo:
E o lado direito:
Portanto, temos:
Como queremos a relação para qualquer , podemos definir :

Passo 4

Agora, vamos diferenciar novamente ambos os lados da equação original em relação a , mas desta vez tomando a segunda derivada.
Segunda derivada do lado esquerdo:
E a segunda derivada do lado direito:
Igualando os dois lados novamente e definindo :

Resposta

Portanto, mostramos que se é uma função homogênea de grau , então:

Exercícios relacionados

A função é diferenciável? Justifique com detalhes. se e .
Resolva:
c)
Resolva:
b)
Uma particula de massa é fixada a um mecanismo de mola com atrito. A constante de rigidez da mola de e a força de atrito exercida sobre a partícula é duas vezes a sua velocidade. No instante , quando a particula está em repouso, uma força externa é aplicada no sistema. No instante , uma força adicional de duração muito curta aplicada a particula. Esta força transmite um impulso de à particula. Determine a posição da particula no instante com .