Uma função f é chamada homogênea de n-ésimo grau, se f satisfaz a equação
f(t x, t y)=t^n f(x, y)
para todo t, onde n é um inteiro positivo e f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Mostre que, se f é homogênea de grau n, então
x^2 partial^2 fpartial x^2+2 x y partial^2 fpartial x partial y+y^2 partial^2 fpartial y^2=n(n-1) f(x, y)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função que é chamada de homogênea de -ésimo grau. Isso significa que, se multiplicarmos as variáveis e por um número , a função inteira será multiplicada por . O conteúdo que vamos usar aqui é o conceito de funções homogêneas e cálculo de derivadas parciais de segunda ordem. Para resolver o exercício, vamos precisar aplicar a definição de função homogênea e calcular derivadas parciais.

Passo 2

Começamos com a definição da função homogênea:
f(t x, t y) = t^n f(x, y)
Nosso objetivo é relacionar as derivadas parciais de com essa propriedade. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a .

Passo 3

Primeira derivada em relação a ddt f(t x, t y) = x partial fpartial x + y partial fpartial y :
Usando a regra da cadeia, diferenciamos o lado esquerdo:
ddt ( t^n f(x, y) ) = n t^n-1 f(x, y)
E o lado direito:
x partial fpartial x + y partial fpartial y = n t^n-1 f(x, y)
Portanto, temos:
x partial fpartial x + y partial fpartial y = n f(x, y)
Como queremos a relação para qualquer , podemos definir :

Passo 4

Agora, vamos diferenciar novamente ambos os lados da equação original em relação a d^2dt^2 f(t x, t y) = x^2 partial^2 fpartial x^2 + 2 x y partial^2 fpartial x partial y + y^2 partial^2 fpartial y^2 , mas desta vez tomando a segunda derivada.
Segunda derivada do lado esquerdo:
d^2dt^2 ( t^n f(x, y) ) = n (n - 1) t^n-2 f(x, y)
E a segunda derivada do lado direito:
x^2 partial^2 fpartial x^2 + 2 x y partial^2 fpartial x partial y + y^2 partial^2 fpartial y^2 = n (n - 1) f(x, y)
Igualando os dois lados novamente e definindo :

Resposta

Portanto, mostramos que se x^2 partial^2 fpartial x^2 + 2 x y partial^2 fpartial x partial y + y^2 partial^2 fpartial y^2 = n(n-1) f(x, y) é uma função homogênea de grau , então:

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